INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES IRRATIONNELLES

935. L'intégration des fonctions algébriques irrationnelles, dans le petit nombre de cas où elle est possible en termes finis, s'effectue généralement par l'un des deux procédés suivants : 1° rendre rationnelle la différentielle proposée à l'aide d'une substitution de variables, ce qui ramène le problème à un autre déjà résolu; 2° faire dépendre, au moyen de l'intégration par partie, l'intégrale cherchée d'une autre de même forme, mais plus simple; celle-ci d'une autre plus simple encore, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on arrive à une intégrale facile à évaluer.

Nous allons successivement appliquer ces deux procédés aux problèmes les plus importants.

936. Fonctions de monômes irrationnels. — Supposons que f (x) soit une fonction rationnelle des quantités

^9 ^9 Pi 9> ^9 ^«••' étant des nombres entiers. On posera

X = z"?»**', d'où dx=^nqs •• • z"''* — *dz,

et, par ces substitutions, la différentielle f{x)dx deviendra évidemment rationnelle en js. On lui appliquera les méthodes du chapitre précédent, et Ton remplacera ensuite z par sa valeur en fonction de x.

On opérerait de même si ï[x) renfermait des puissances fractionnaires d'un binôme a + hx.

Exemples :

M-4-X* - Mr.r ^ TT a;® X* X** X* X* X* ^1 J^^J [13 iO 9 7 6 4 3 J

-*- 2 I. Ti i-i 7:. «''c tg — — M- C.

UST. Différentielles renfermant la racine carrée d'un trinôme du second degré. — Soit k intégrer une expression de la forme f (j*, X) rfx, f désignant une fonction rationnelle des variables x, X, et X désignant le radical

(/a -♦- Bx -*- Cx*,

A, B, G étant les constantes. On peut réduire la constante G à db i, car il suffit de diviser sous le radical par la valeur absolue de G. Nous poserons donc simplement

les constantes a, 6 pouvant avoir des signes quelconques, et nous examinerons les divers cas qui peuvent se présenter.

i** cas • X=j/a-t-6x-*-x*. — On pose, z étant une nouvelle variable,

j/a -♦- 6x H- x* = z — X, d'où a -4- 6x = z* — 2zx,

z* — a ^(z — x)dz

bdx=2zdz — ^dz — 2«rfx, x=; — rr- f dx = — 4 — rr — î

la valeur de x étant rationnelle en z, si on la substitue dans les expressions de dx et de X, ces quantités s'exprimeront rationnellement en z, et la différentielle f(XjX)dx deviendra rationnelle par la substitution proposée. On aura ensuite

^^ cas : X==^/a-4-6x — x*. — Soient a, |3 les racines, supposées

réelles, de Féquation

en sorte que Ton ait identiquement

a -^bx — x' = (x — a) ((3 — x).

On posera

P — x = (x — a)j3*, -^ rfx = z*dx -h 2(x — (x)zdz^

S -H «je* , 2 (x — a) zdz

X s= i r- 9 ax = ^ — •