z* i -*- jj

Gomme x est fonction rationnelle de z, il en sera de même de X, dx^ et de f (x, X) dx : Tintëgration se fera donc sans difficulté, et Ton substituera ensuite

Si les racines a, (3 étaient imaginaires, le trinôme sous le radical serait négatif pour toute valeur de x, et X étant imaginaire, Tintégration ne pourrait plus se faire en quantités réelles.

On peut observer que la même méthode serait applicable au premier cas, si les racines de Féquation

a 4- 6x -♦- X* == étaient réelles.

5"* cas. — Quel que soit le signe du terme en x' sous le radical, on peut encore, lorsque a est positif, poser

X = j/a H- 6x ± X* = |/a H- xz.

Elevant au carré et réduisant, on a successivement

6 db X = 2jr |/o -♦- xz', db rfx = z*dx -4- 2 ((/o^-f- xz)dZy b — 2z(/a %U/a'\-xz)dz

en sorte que x, et par conséquent dx et X, s'exprimeront rationnellement en JT, et que la différentielle f(x,X)dx, étant rendue rationnelle, s'intégrera sans difficulté. On aura d'ailleurs

|/a-i-6xdbx* — ya

98§. Gomme application de ces transformations, considérons Tintégrale

dx

3iA

l/a -♦- 6x -^ x* qui rentre dans le premier cas. On a immédiatement

Si Ton a, en particulier, 6=0, a = a*, il viendra

^ dx >

formule d*un usage fréquent.

On aurait de même, par la seconde transformation,

C dx C dx ^C dz

\ , - = \/ r- = — 2\i 1 = — 2arctgz-t-C

= — 2arctg% /^-^^ -4-C;.

y X — oç

mais cette intégrale s'obtient sous une forme plus commode en écrivant

C dx C dx . 2x — 6 ^

\ , = 1 , =arcsin-— -hC,

d'après la formule connue,

Ç dz • ^ r.

V — -ziz^iir = arc sm - -♦- C.

On suppose que (6* + 4a) soit positif : s'il était négatif, il est facile de voir que la quantité sous le radical serait négative, et que, X étant imaginaire, il n'y a plus lieu de chercher une intégrale réelle.

989. Comme exemple de la troisième transformation, nous choisirons

rintégrale importante

|/ax — ac* m étant entier et positif. Nous poserons donc

^^ax — X* = xz , d'où a - X = xz*, — dx = z*rfx -*- âxzciz,

a j ^xzdz X = -z » ax = — 1 >

et nous aurons

Nous sommes ramenés à l'intégrale traitée au n° 255 (4"*}, et que nous pouvons considérer comme connue : nous remplacerons ensuite z par sa valeur

\/ax — x^

940* On ramène un bon nombre d'intégrales aux précédentes, par des artifices de calcul. Ainsi, l'on a

(ax-t-P)rfx i a(2cx-^6)dx i (2(3c — a6)dx

(/a H- 6x -*- ex* "^ j/a + 6x h- ex* "^ j/a -♦- 6x -*- ex*

le premier terme du second membre est la différentielle de

- l/a -4- 6x -♦- ex* ;

le second rentre dans l'un des cas étudiés au n® 257. Soit encore

dx

En faisant successivement x=>-9 js<=t<, on a

zdz \ C du

f dx ^ C zdz ir

On opère comme au n" 255 : on pose

/z r' — 6 , 2rdt;

d'où

f dx r dv i r dv

3 (a + |3x«)/^^ir6^ ~ 3 «P— 6a + «««"" â 3v*±A:«'

en faisant

a(3 — 6a = ± fc*<x.

On est donc ramené à une intégrale connue, et Ton n*a plus qu*à substituer à V sa valeur

J y I I/Cl -f- hX^

On trouvera ainsi, si -î- > 0,

Jdx i ^ l/a-^6x* ^ , /afi — 6a 7==== — î:^''^^'^^ — î *-C> *=\/ -^- î

. aP — 6a ^ a

f rfx __i fcx 4- t/g -h 63g* / 6g — gp

3(a+Px«)/g + 6x«~2afc •^^j/'^:;:jj,"*' "y « '

si a|3 — 6a=0,

Jdx ^ ^ ^ -^C.

Exercices.

« C ^.u-i/nr^^»^- (x4-v/ïT^)''+' (x+v/rT^r>

=--2arctg- ^ -4-C.

(lH-aj)l/l+a;— «« ®

H- arc sin as -^ C.

rf» 1 |/î^(a-^6x)-4-|/6{/-i-5rx)

)vjâ

y(a,-\-bx)[f+gx) y/bg y/g{a+bx) —yb(/-i-gx)

} y(a-bx)(/+gx) l/Fg V S(o-6»)

N. B. a, 6, /, g sont positifs.

(te '

(a -h ^x) l/oH-fcoB*

R. Si aâ« + 6a* = A:« — - 1. JT L j-C;

... ■• i , a& — hoLX „

SI ap"-4-6a"^ — A", — ^arcsin •^'C?

si Oi3* + 6a*=0, - \ / -^^^ — ^H-C.

941. Différentielles binômes. — On donne ce nom aux différentielles

de la forme

x*(o -4- bx^ydXf

les exposants m, n^ p étant entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs. Lorsque m, lï, p sont entiers, la différentielle est rationnelle en x, et rentre dans un type que Ton sait intégrer. Les cas où, la différentielle étant irrationnelle, on sait Tintégrer, sont les suivants :

1» Si p est entier, m et n étant fractionnaires, l'expression x*(a4-6x*)i' est une fonction de monômes irrationnels, et rentre dans le cas du n** 236.

2^ Supposons que Ton ait p=- , fx, v étant des nombres entiers, et posons

(a -^hx^y = z, d'où X = ( ^^^ V ,

II viendra, par cette substitution,

et cette expression sera évidemment fonction rationnelle de z, si

est un nombre entier, positif, nul ou négatif. Donc, quand cette condition sera remplie, la substitution indiquée rendra la dififérentielle binôme rationnelle en z, et son intégration se ramènera aux règles du chapitre XXVII.

5° On peut encore écrire la difTérenticlle binôme sous la forme

et si Ton pose

m + np = fn', — n=sn\

puis que Ton applique le théorème ci-dessus (2»), on verra que la différentielle donnée peut être rendue rationnelle et intégrée lorsque

m'-^ i m +np -^ i

eM un nombre entier ou se réduit à zéro. Et pour obtenir ce résultat, on mettra d^abord la différentielle sous la forme indiquée, puis on emploiera la substitution qui convient au cas précédent. On trouvera, par Tapplication de ces principes.

dx 3ar-H2 > ■ 3 . i ^

y^x — i — - arcsm— — -4-C.

xdx 2 2a -♦- 6x ^ C x^dx x^

Jxdx 2 2a -♦- 6x Ç

f x^dx{a 4- x«)' = ^ (a + x«) ' fx^ ^^\+C.

Ç xdx \ / X ^

J /« îvi aV/ 2a — X

'' (2ax — x*r ^

(2ax — X*)

f (l-i-x»)» , z» Sr z«dr ,, i

\- T-^^^ = — -^m — Tx + s \ -;: — 7' Z=(1-HX*)*.

J X» 2(z' — i) ajz» — 1 ^ '