OX* — — X

949. Le second procédé dont nous avons parlé , et dont nous allons maintenant faire l'application, consiste à préparer la différentielle proposée de manière à effectuer une intégration par partie, et à décomposer l'intégrale à laquelle on est ramené en deux autres, dont l'une est précisément celle que l'on cherche, l'autre étant de même forme, mais plus simple. On a ainsi une formule de réduction dont l'application répétée conduit à la solution, ou du moins k la simplification du problème. .

Cette méthode s'applique même avec avantage aux différentielles rationnelles, et nous en avons déjà vu un exemple (233).

Considérons, comme exemple, la différentielle binôme

x*rfx

/i — x« et, en observant que

xe^x

j/i— X nous aurons successivement

x**rfx

= — rf./i— xS

r x^ ^ ^^^ j/i a-i ^ („j i)/x*»-*dx |/i — x« J i/i— x«

Décomposant celte dernière intégrale, on y retrouve la proposée que l'on fait passer dans le premier membre, et l'on a

Jx**dx X*»"* |/i — X* m — i Ç x**""*dx

Telle est la formule de réduction de l'intégrale proposée. Elle permet d'abaisser l'exposant m de deux unités, et par suite, de quatre^ six, etc.. Si m est entier, positif et pair, on sera ramené par ces réductions succes-

sives à

JX^dx Xî/i — X* i C dx X r\ r \

Si m est impair, on arrivera à

xdx

Jxax j

Si m est entier^ mais négatif, la relation ci-dessus ne servirait qu'à élever la valeur absolue de Fexposant de x, mais en la renversant et changeant m en m -t- 2, on a

r x*^dx x"»+*j/i— x* fw -h 2 r x**+*dx

) j/ï^r^~ wTï ■*" m -*- i 3 j7rr^'

d'où, remplaçant m par — m, on tire

ç dx |/i — X* m -^ 2 /• dx

J X- j/rr7» ~ ~ (»w-i)x— » ■*■ fw~i 3 a;m-i /TH^*

Au moyen de cette formule, on abaissera successivement l'exposant de X de deux, quatre,... unités, et Ton sera ramené, si m est pair, à

r 'dx 3a«i/i— x«

si m est impair, à

/• dx .

à laquelle la formule ne s'applique pas, vu que m — :i=0. On cherchera directement sa valeur, en posant

|/ 1 — X* = 1 — xz,

d'où

2(i— xj2)dz 2z

— X = — 2z+Xj2', rfx=-^-t i^^ 9 X=-T ->

et l'on aura

r dx C dz ^ , i — l/i— X*