I -7=zz=: = I — = 1. J3 = 1. =^^ H c

Jx/Î^I^ J ^ ^

La valeur de cette intégrale étant connue, fera connaître celles de toutes les intégrales qui s'y ramènent.

Oa trouve, par Tapplication des formules qui précèdent,

I — z=z= = — ^^ I x* H — X \ -i '- arc sm x + C:

r x^dx i/i xV , 4 , 2.4\ ^

r x«dx i/i — X» / , 5 , 35 \ 135

I — -=--—— = — ~ I x^ H — x' H X I H arc sin x -4- C ;

J/TH^ 6 V 4 24 y 24.6 '

Jrfx |/i — X* ^ , ^ — |/i — a?*

r dx /n? /! ,g\,c.

f dx |/1— x« /l 3\ <5 , 4— 1/1— j«

)x»/rr7«~ ïT- i,r» -^ 2i; ^ 2.4 '• ï ■*-^'

f dx t/l— xV ! ^ 2-4\

Jx«i/r::7«~ 8^ \^x* ■*■ 3x« ■*■ 1 . 3 j ■*■ ^'

r dx |/1— x* /^ ± ^\ i-3-S 1— /l— X*

5148. La même marche sert à réduire les dififérentielles binômes, considérées en général. On a en effet

x**fa -4- 6x"Wx = -T x*""''+* (a -4- 6x")^d(o + 6x"),

et rintëgraiion par partie donnera

(i)\x*"(a'¥-bx'')Pdx= =4 TT- n 7T \ x*~-''(a+6x"y+*rfa:.

J nb(p'^i) «6(p-t-1)J '

Mais on a évidemment

j.m-n ^^ ^ 6x")^+* = aa;"*"~" (a -h bx^y + 6x** (a + ôx")^,

et en décomposant ainsi la dernière intégrale, on trouve sans peine

(2) \x^{a'^bx^)Pdx=—r7—^ 77 rr^ n \ x**-"''(a-i-6x»Wx.

J b^m-i-np-hi) 6(m-4-np-^i) J ^ '

Cette formule réduit l'exposant m à m — n; si Ton y remplace m par m -4- w, et que Ton lire de l'équation la valeur de Fintégrale au second membre, on trouvera

(3) \x«»(a-t-6x'»)''dx= ^r -^ ^^ ^^-—r^ — ' \x"»+"(a-t-6x"ydx.

Au lieu de faire porter l'intégration par partie sur le facteur (o 4- 6x")''dx, on peut la faire porter sur le facteur

x'^dx = — ,

iw + i

et l'on a

V X*" (a + 6x*»)^dx = ^^ — ' — r 1 x**+» (a -4- 6x*)P-*dx.

J ^ ' nn-i m-t-ij . ^ '

Décomposant

5^m+fi (^ + 6x*)P"* s= X*" (a -4- ôx**)? — ax* (a -4- ôx*)*^* ,

et ramenant dans le premier membre l'intégrale cherchée, on aura

/MX f / I X » x*'*+* (a -♦- 6X'»)'' pna C ^. , .' .

(5) \ x*^ (a -♦- 6x"ydx = ^^ 7^ h ^- r \ x"» (a -*- ôx^-V^^Jx.

^'J ^ ' m-H/ip-f-1 m-t-wp-t-ij '

Enfin, si l'on veut augmenter l'exposant p d'une unité au lieu de le diminuer, on change dans cette formule;} en p + i, on tire de Téquation la valeur de l'intégrale au second membre, et l'on a

(6) \ x*^ (a + 6x»» Wx = — ; T^ 1 , ^,, lx*^(a-*-6x'»y+*rfx.

J (p-*-i)wa (p-f-i)wo J '

Les formules (1) à (6) servent à la réduction des intégrales binômes.

Observons d'abord que n peut toujours être supposé > 0, car si cela n'était pas, on mettrait la différentielle binôme sous la forme

Si Texposant m est positif, au moyen de Téquation (2) on abaissera cet exposant d'autant de fois n qu'il y est contenu. Si, au contraire, il est négatif, on fera usage de la formule (3) qui permet de réduire cet exposant jusqu'à ce qu'il ait une valeur numérique moindre que n.

De même, les formules (5) et (6) serviront, selon que l'exposant p de a -♦- tx" est positif ou négatif, à diminuer cet exposant de une, deux, trois,... unités, jusqu'à ce qu'il ait une valeur moindre que l'unité, et cette réduction pourra se faire, soit avant, soit après la précédente.

Enfin, les formules (i) et (4) sont applicables à la réduction simultanée des exposants m et p, la première lorsque l'on a m > 0, p <^0; la seconde lorsque w < 0, p > 0.

Les formules (2) et (5) conduisent à une indétermination ( oo — oo) lorsque m -+- np -♦- 1 =0 : mais on sait que l'on est alors dans un des cas d'intégrabilité (24i). Il en est de même des formules (3) et (4) lorsque m + i =0. Enfin, les équations (i) et (6) ne s'appliquent plus lorsque p + i = 0, mais la différentielle proposée est alors une fonction de monômes irrationnels (241).

Exemple. Soit à déterminer l'intégrale de

x'rfx

(a -♦- 6x)* On trouvera d'abord, en se servant de la formule (6),

x^dx 2x* /. i 5\ 7 r x^dx

r xHx 2x*/ i ^\2r

Ensuite, on fera usage de la formule (2), et il viendra

r xHx 2l/aH-6x / . 6 ax« 4 6 a«x 24 6 a'\ ^

Exercices.

rgAH^g, jjjin^i ^-8 «*•-«

f«i+l f«— 1 Jn— s in— s

(i— a:»)"»" (2n-l){i-a?«)~^ (2»-5){l-x«)~«" (2îi— 5)(1— ai*)"»"

- q: arc sin a? + C.

cfa;

a^(a-\-bx) » 2aa?(a H- 6a?) « a?(a-4-6aî) •

f - a?|/o»— aj* r 7a* 8.7