INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES RENFERMANT DES FONCTIONS

EXPONENTIELLES OU CIRCULAIRES.

944. Le peu que Ton sait de Tintégration des différentielles transcendantes se tire encore de la méthode de substitution et de l'intégration par partie.

Dans un grand nombre de cas, Tintroduction d'une nouvelle variable

— su —

ramène la différentielle proposée à la forme algébrique. Ainsi, si î{z) est une fonction algébrique de z, les différentielles

f (c) e^rfx, f (tg x) — — ? f (arc sin x) - > • • •

cos X l/j — X*

se ramèneront à la forme f{z)dz par les substitutions respectives

e*=:z, tgrr = jr, arc sin a: = z,...

Par exemple, on aura, en posant e*»' = z,

r rfx r e"'rfx i r rfz i . v ^

Si l'on remarque que les fonctions l.or, arc sin or, arc tg rr,... ont leurs différentielles algébriques en rr, on pourra aussi rendre algébriques les différentielles de la forme

f (e*) dxy f (sin x) dx^ f (sin a;, cos x) dx, f (tg x) dx,...

f désignant toujours une fonction algébrique. En effet, si Ton considère la première et que Ton pose c'^jr, on aura

x=\.Zj dx=: — y

et par suite

({e')dx = f{z)^'

On opérera de même pour les autres. Soit, par exemple,

dx sin x(a -*-6 cosx)

la différentielle donnée. En posant cos x = z, on lui donnera la forme

dz bHz dz dz

~ (0-4- bz) (1 — jr«) ~ (a»— 6«) (a + hz) "" 2 (a + 6) (1— z) ~ 2(a— 6)(i h-jj)'

et en intégrant, puis remplaçant z par cos x, on aura

Îdx b . , , . 1.(1 — cos x) l.(1-*-cosx) -: ; ; ;=-rrrI.(aH-ocosx) )r-, rr— ^ ~ rr^ -4-C. sin X (a -4- 6 cos x) a*6* 2(a-4-o) 2 (a — 6)

945. D'autres transformations conduisent quelquefois à un résultat plus simple. Ainsi, Ton a

Jdx r dx

a H- 6 cos X I / X x\ / X x\

I of cos»-H-sin«-j-4- 6( cos»- — sin«^ 1

d*oii, divisant haut et bas par cos' - et faisant tg - c=s z, on trouve

r àx f Uz

3 o -♦- 6 cos X J (a H- 6) H- (a — 6)z*

On peut toujours supposer a +6 positif; a — 6 sera positif ou négatif,

donc

et comme on a

Jiz i (3« r dz 1 a -4- Pz

-5-j-^ = ^arctg--, 3a«— j3V~2^ ^^ITpi»

on aura définitivement

fefi"''*«(v^'^^*'^^' '' "-*>^î

ôT6côsx'^) I («-*-fr) — (« — ft)tg2

y ■ ^' h C, si a — 5<[0.

|/fc*-a* (a+6)+(a-6)tg|

En général, si f (sinx, cosx) est une fonction rationnelle de sIdx, cosx,

en posant z = tg - 9 on aura

2z i—z* , 2dz

sm X =-; ;» cos X =r ;> dx = >