je' i -hz' i -f-jg
et f (sin X, cos x) dx deviendra une fonction rationnelle de z.
946. L'intégration par partie s'emploie très-utilement pour Tévaluation ou la réduction des différentielles transcendantes. Soient ti, t; deux fonctions de X, n un nombre entier positif, et faisons
Nous aurons
(i) y M"vdx = M*t?i — nyu"-*ridw,
et si les fonctions u, Vi satisfont à la condition
Vidu = gvdxy g étant constant, cette équation deviendra la formule de réduction
y w*»vdx = te**Vi — ng f W^^^vdxy
qui conduira immëdiatement h la valeur de Tintégrale yw"vdx=i;i[M" — n5fu*»~*-4-w(w — \)g*u'*-^ db:n(n— i)--ijf"]-hC.
La condition ci-dessus est remplie si Ton prend
^ a donc
f j ^'V ^ i fî(n— i) . . n(n — i)...2-in ^
I afc«'rfx= — X- x*-*-+- -i — T— ^x*-* ± -^ i U-C.
De même, ti = I.x, v = x*^~*. o= — , donneront
V(I.x)"x*-*dx=— (1.x)- (l.x)"-^-4- -^ — r^il-xy-^ ±-^ —
Reprenons Fëquation (i), et supposons que Ton ait
y Vidu = v% , Vjdtt =gvdx :
une nouvelle intégration par partie nous donnera
J'u^-^Vidu = M»~*t?8 — (n — i)y t4*""*r8(lii, et par suite
(2) y ti"t?(lx = tt*t?i — nt4*~* i7s -*- w (n — i)g J'u^^^vdx ,
formule de réduction qui abaissera l'exposant n de deux unités. Par exemple, si Ton fait
u=:x, v = cosx, d'où i;i = sinx, t?s = — cosx,
on aura
Vidu = — cos xdx = — vdxy
et il suffira de poser jr= — i pour que la condition soit satisfaite. La formule (2) donnera
yx»cosxdx=î=x»sinx-*- «x*~* cosx — n{n — 1)yx*~*co8xdx,
et l'on sera ramené, selon que n sera pair ou impair, à
y cosxdx = sin x, ou à y x cos xdx = x sin x -♦- cos x.
On trouverait de même l'intégrale de x* sin xdx.
1t4L7, Si l'exposant n était négatif, l'intégration par partie, portant sur
le facteur vdx, ne servirait qu*à élever cet exposant : il faudrait alors la faire porter sur le facteur w^dx. On aurait, par exemple,
changeant dans cette formule n en n — 1, on abaisserait rexposant de x de deux unités, et ainsi de suite, jusqu'à ce que Ton arrive à
qui ne peut plus être soumise h aucune réduction et constitue une nouvelle fonction transcendante.
S4S. L'intégration par partie peut encore, dans certains cas, être dirigée de manière à reproduire, après un certain nombre d'opérations, l'intégrale primitive : on a alors un système d'équations qui détermine celle-ci, et toutes celles par lesquelles on a dû passer. Ainsi Ton a
e"' cos bxdx = — cos 6x -*- -f e"' sin bxdx^
et, en intégrant de nouveau par partie.
e"' sin bxdx = — sin bx 7* e"' cos bxdx.
On retombe sur l'intégrale proposée : résolvant ces deux équations par rapport aux intégrales qu'elles renferment, on trouvera facilement
, , e"'(a cos 6x -4- 6 sm bx)
c"' cos bxdx = — i-r h C ,
... &*'(a sin bx — 6 cos bx)
e^' sin bxdx = — ^ r — rr -H c.
Î149. On a fréquemment à intégrer des différentielles de la forme
sin" xcos^xrfx,
les exposants m et n étant entiers, mais positifs ou négatifs. Il est facile de les ramener aux différentielles binômes : il suffit de poser
sinx = jj:, cosx = |/l — z*, dx = (i — z') *dzy
d'où
sin** X cos* X da? = «*• (1 — z') * dz.
On peut aussi, lorsque m et n sont positifs, développer sin"*x cos^a? en une somme de sinus ou de cosinus des multiples de x, à l'aide des formules du n** il. Ainsi Ton a
sin' X cos* xrfx = 7(1 — cos 2x) (i -♦- cos 2x) dx == - (i — cos* 2x) dx
i /i cos 4x\ -
dont rintégrale est — — h C.
O DJm
Mais le meilleur procède consiste h réduire, dans les diffërentielles de cette forme, les exposants m et 1?, au moyen de Tintëgration par partie, et de la décomposition de riutcgralc trouvée en deux autres, absolument comme au N** 242.
En observant que
cos xdx = d, sin x, sin x dx = ^ d. cos x, sin* x = i — cos* x,
cos* X = 1 — sin* X, on trouvera par ce procédé
(3) (m -♦- 1) y sin"» x cos* xdx= sin"»+* x cos*~* x-h{n — i) f sin"»+* x cos*~* x dx,
{4e) (m-+-n) /"sin** x cos* x dx^ sin'*+* x cos*^* x 4- (n — 1) /* sin** x cos*^ « dx.
(5) (n 4- 1 ) y sin** x cos* x dx = — sin'*+' x cos*+* x -H (m -h n -t- 2) y*sin «"x cos*+* x dx.
(6) (n -4- 1) y sin** « cos* x dx = — sin*"^* x cos*»+* x -h (m — i) f siii*"^*x cos*+* x dx.
(7) (w -4- n)y sin** x cos* x dx = — sin*"^' x cos*+' x -♦- ( w — i)f sin*"^ x cos* » dx.
(8) {m-\'i)f sin*» x cos* x dx = sin"»"''' x cos*+' x -h (m -t- n -♦- 2) /* siii'"+* x cos* x dx.
La formule (4) servira, dans le cas où n est positif, h abaisser successivement cet exposant de deux, quatre, six,... unités, jusqu'à ce qu'il se réduise à zéro ou à l'unité. La formule (7) réduira de même l'exposant m s'il est positif. Les formules (5) et (8) réduiront, au contraire, l'exposant n ou l'exposant m^ supposé négatif, en lui ajoutant successivement deux, quatre,... unités, jusqu'à ce qu'il devienne — i ou zéro. Enfin, si l'on avait à la fois m < 0, n> 0, on pourrait se servir de la formule (5) pour réduire simul-
tanëment les deux exposants ; si Ton avait m ^ 0, n < 0, on ferait usage de la formule (6).
Par remploi combiné de ces formules de réduction, ou sera donc ramené à Tune des. intégra les suivantes, dont la valeur s'obtient immédiatement :
y sin X rfx = — cos X -f- C, y cos x dx = sin x -i- C,
f . I sin* X ^ f sin X j ,
\ sm X cos X ox = — :r h C, \ ox = — I. cos x -i- C,
J 2 J cos X
fcosxdx , . ^ C dx , , r^/^^.v
\— ; =l.sinx-+-C, \ -: = l.tgx = C(22l),
J sin X J sin JT cos X
= l.tg|-^C,
C dx C dx
\ = 1 =l.tg
J sin X I ^ . a? X
1 2 sin - cos -
Les formules (4) et (7) sont inapplicables lorsque l'on a m = — n, mais on peut alors se servir, si w > 0, de la forme (6) qui donne
(m — i)y tg"'xdx = tg"»~*x — (m — i)y'tg"'""*xrfx;
si m <[ 0, de la formule (5) qui donne
(n — i) y cot" X rfx = — cot*""* X — (n — i) y* cot"~* x dx.
On observera encore que si Ton arrive, de réduction en réduction, à une intégrale dans laquelle l'exposant de sin x ou de cos x soit réduit à l'unité, sa valeur s'obtiendra immédiatement, car l'on a
f . , sin'^+^x ^ f . J cos"+*x
\ sin**xcosxax= r ^- C, 1 cos*xsinxax= r--»- C.
J w-hi J m-i'
Concluons que, dans le cas où m, n sont entiers, la différentielle sin**a7 cos** X dx peut toujours s'intégrer sous forme finie.
Exercices.
f../i 2V/rf^ 1,1/TT^-f-l ^
