DIFFÉRENTIELLES DE L'ARC ET DE L’INCLINAISON DE LA TANGENTE

200. La longueur de l'arc d’une courbe plane y — f (x) (54), comptée depuis un point fixe A de la courbe jusqu’au point variable M (x, y), est une fonction s de l’abscisse x, fonction dont nous allons chercher la dérivée, au moyen du lemme suivant.

11 résulte du théorème de M. Bonnet que si, en chaque point d’un arc

de courbe MM’, la tangente est déterminée, il existe sur la courbe entre M et M’, au moins un point où la tangente est parallèle à la corde MM’. Cela admis, inscrivons dans l’are MM’ un polygone dont tous les côtés tendront vers zéro; soient +; un de ces côtés, G; sa projection sur la corde MM’, 9; l'angle compris entre à, et B;. Nous aurons BP: = à; cos o,, Hu I— —2 sin? © et l’on pourra poser

Bis } UE PE Mn

Si nous supposons qu’en chacun des points de l’are MM’ la tangente fasse, avec la corde MM’, un angle dont le carré soit moindre qu'une quantité donnée 25, il résulte de la remarque faite plus haut que l’on aura VW, < 56, et en vertu du théorème du n° 48, 3 désignant une somme qui s ‘étend à tous les côtés du polygone, on aura aussi

D —id<e

Mais celte inagalité subsistant quand les côtés du polygone décroissent indéfiniment, comme 2£; est égal à la longueur c de la corde MM’, que Za; a pour limite la longueur s de l’arc MM’, on aura aussi

Concevons maintenant que le point M’ se rapproche indéfiniment du point M. La corde MM’ fera avec la tangente en M un angle qui décroitra au-dessous de toute grandeur donnée. D’autre part, si la dérivée f’(x) de l’ordonnée de la courbe est continue dans la voisinage du point M, on peut supposer le point M’ assez voisin du point M pour que, en chaque point de l’arc MM’, la tangente fasse avec la tangente au point M un angle plus petit qu’une fraction donnée quelconque. La quantité e pourra donc être supposée aussi petite qu'on voudra, et par conséquent, on aura

ac lim-—= 1.

Donc, un arc infiniment pelit et sa corde ont pour limite de leur rapport l'unité, si la direction de la tangente varie d’une manière continue,

201. Ce lemme admis, soit, pour un accroissement Ax de l’abscisse, As — MM’ l'accroissement de l’arc s. On aura donc, x + Ax, y + Ay étant les coordonnées rectangulaires du point M’,

‘10 As SAN - Ay?

Le signe + se rapporte au cas où les arcs sont comptés positivement dans le sens des x positifs, le signe — au cas contraire. Dans le premier cas, on a donc

NP (1) | de / à RD .

Si l'équation de la courbe est donnée en coordonnées polaires, on peut résoudre le même problème directement, ou mieux par un changement de variables.

Les équations

x=rcos0, y—rsin0 entrainent celles-ci

dx — cos 0 dr — r sin 6 d0, dy — sin 0 dr + r cos 0 db,

ds? = dx? + dy? = dr? + r? d0?,

dr?

as 2 (2) da /r +5 une

en nous bornant au signe + du radical, ce qui suppose que s et 0 varient dans le même sens.

202. La tangente à la courbe au point M (x, y) fait avec l’axe des x un angle © dont la tangente est donnée par l’équation

Dérivant par rapport à x, multipliant par cos* y, nous aurons

CRUE à à MENT SE dx dt der tigo dx dy LT dus

On sait que, si l’on prend dx égal à Ax, comme on peut Île faire, l'expression précédente donnera l’accroissement Ao de l’inclinaison de la tangente sur l’axe des x, aux quantités près d'ordre supérieur à Ax, Or, si l’on mène les tangentes MT, MT’ (fig. 25) en deux points infiniment voisins correspondant à x, & + Ax, l'angle infiniment petit TNT’ compris entre ces tangentes est égal en valeur absolue à Ao. Il | sera donc donné par la formule ci-dessus LOC

au signe près, en prenant dx — Ax et négligeant des quantités infiniment petites par rapport à Ax; do s'appelle l’angle de contingence de la courbe.

203. L'expression de Av conduit à une conséquence utile. Soit à l’angle infiniment petit M’'MT entre la tangente MT et la corde MM’; MP étant perpendiculaire sur cette tangente, on a