COURBURE ET DÉVELOPPÉES DES COURBES PLANES

205. Soit MM’ (fig. 26) un arc de courbe plane, tel que la direction de la tangente varie d’une manière continue et toujours dans le même sens du point M au point M’. L’angle TNT’, compris entre les directions des tangentes MT, M'T' prolongées dans le même sens, se nomme la courbure de l'arc MM’.

Si l’on prend sur la courbe, à partir d’un point donné M, un arc MM’ de longueur variable, le rapport TNT’ : arc MM de la courbure de cet arc à sa longueur varie généralement avec la longueur de l’arc, et quand le point M’

Fig. %. se rapproche indéfiniment du point M, ce rap-

port de deux infiniment petits tend vers une

limite déterminée lorsque l’équation de la courbe satisfait à certaines

conditions. Cette limite est ce qu’on appelle la courbure de la courbe au point M.

Dans un cercle, la courbure est constante et égale à l’unité divisée par le rayon, car l’angle TNT’ est égal à l’angle au centre qui répond à l'are MM’, c’est-à-dire au rapport de l'arc au rayon. C’est pour cela que pour avoir la mesure de Ja courbure en un point M d’une courbe quelconque, courbure généralement variable avec la position de ce point, on la compare à celle d’un cercle, en assignant le rayon R du cercle qui aurait en tous ses points une courbure égale à celle de la courbe donnée au point M. Ce rayon R est le rayon de courbure de la courbe en M.

Pour trouver son expression, nous partirons de l'équation

Le N RO LOPATONAC

qui résulte de la définition précédente.

L'arce MM’ n’est autre chose que l'accroissement As de l’arc de courbe quand on passe du point M au point M’; l'angle TNT’ au signe

près, est à Ap (202), d’où cette première expression du rayon de courbure (F) | BA lin PE

R étant une longueur absolue, on prendra le signe + où — de manière à trouver un résultat positif.

206. Si l'on remplace ds et do par les expressions (1) et (3) des N° 200 et 202, on a l'expression du rayon de courbure en coordonnées

rectangulaires dy?

(+) dy dx° Si l'équation de la courbe est donnée en coordonnées polaires, on prendra pour ds et do les expressions (2) et (4) des N°* 201 et 204, et

il viendra dr? 2 + ur Res (: +7)

dr? dr ,2 EN NViN ee | mTTRRMTT

b9 jou

On observera que, d’après l’équation (11), le rayon de courbure devra être infini si le point M est un point d’inflexion, à cause de l'égalité d'y — 0. En transportant cette condition dans l’équation (III), on en déduira le moyen de trouver les points d’inflexion d’une courbe dont on a l'équation en coordonnées polaires.

La formule (IT) se rapporte au cas où dx est constant. Si x et y étaient donnés en fonction d’une même variable indépendante dont la différentielle serait prise constante, on se servirait des formules du changement de variables (478) et l’on aurait

dx? + dy? à | dxd?y — dyd?x Enfin, si du point M’ on abaisse M’P perpendiculaire sur la tangente MT, on aura, d’après la remarque du N° 203, M'P

INT 2 PM TR UpE

abstraction faite de quantités infiniment petites par rapport à TNT’. D'autre part, l'arc MM’, sa corde MM’, et la projection MP de celle-ci sur la tangente, sont des quantités qui ont pour limite de leur rapport l'unité ; on aura donc, d’après le théorème du N° 47,

arc MM’ MP°

(V) lin |

Lee

Cette expression géométrique du rayon de courbure est utile pour construire approximativement le rayon de courbure d’une courbe donnée graphiquement.

207. À partir du point donné M, on porte sur la normale, du côté où la courbe tourne sa concavité, une longueur MZ égale au rayon de courbure R. Le point Z ainsi obtenu est le centre de courbure relatif au point M; le cercle décrit du centre Z avec le rayon R est le cercle de courbure; il a même tangente en M que la courbe proposée.

Le centre de courbure Z coïncide avec la limite du point de rencontre Q de la normale MQ au point considéré et de la normale M'Q en un point infiniment voisin.

Le triangle MQM' donne en effet la relation

MM' MQ = sin MMQ ——.

és pers MQM' L’angle MM’Q à pour limite un angle droit, car l’angle MM'N < TNT’ a pour limite zéro. Dans le rapport d’infiniment petits MM’ : sin MQM’, on peut remplacer la corde MM’ par Parc MM’, sin MQM’ par MQM' ou par son égal TNT’; donc, M’ se rapprochant indéfiniment de M,

arc MM’

lim MQ — lim —— im MQ im TNT

= RM7 De plus, l’inclinaison de la tangente M’T’ sur MT étant supposée varier toujours dans le même sens du point M au point M’, le point de rencontre Q des normales en M et en M’ se trouvera du côté de la concavité de la courbe ; donc le point Q aura pour limite le point Z. 208. Pour déterminer les coordonnées (x, B) du centre de courbure Z

relatif à un point (x, y), nous exprimerons que la distance MZ est égale à R, donc

(1) @— a+ (y— 5 = Re

Le point Z étant sur la normale en M, ses coordonnées vérifient l'équation de la normale [881, éq. (3)|, d’où

6 MAS F2, (2) Ga) + y A) SALUE Prato; Substituons, dans l'équation (1), à R son expression (IT), et éliminons x — à entre les équations (1) et (2) ; nous aurons

nf) (+5) (2)

Supprimant le facteur commun aux deux membres et prenant la racine carrée, nous aurons LR — 2e y —$— (: Me pre ere Il faut choisir le signe inférieur, car le point Z étant, sur la normale, du côté où la courbe tourne sa concavité, y — f sera négatif si d°?y est positif et vice versâ. On tire done de là légalité

(3) SL (y — f) 4 0.

Les équations (2) et (3) déterminent complètement « et f. 209. Le cercle osculateur, en un point M d’une courbe, est la limite du cercle passaut par ce point et par deux autres points M’ et M’’ de la

courbe, qui se rapprochent indéfiniment du premier.

Si nous désignons par x, %1, «2 les abscisses respectives des points M, M’, M”, par f (x) l’ordonnée de la courbe et par o (x) celle du cercle passant par les points M, M’, M’’, la condition des trois points communs entraîne évidemment, pour déterminer le centre (+, 5) et le rayon R du cercle, les équations

fa)—ep()=0o, flu)—p(u)=0o, f(x) — (x) — Nous en tirons, par l'application du théorème de Rolle (94), en désignant par Ë, Ë, certaines quantités comprises, la première entre x et x, la seconde entre x, et x+, les équations

PE—(E)=0o, f(E)—9()—

et de celles-ci, £’ étant compris entre Ë et Ë;, PE) —g"E)— 0.

Lorsque les points M’, M’’ se rapprochent indéfiniment du point M

suivant une loi quelconque, x, et x2 ont pour limite x, et il en est de même nécessairement, de Ë, &, et £’. On a done, à la limite, les relations

f(x)—=œ{x), f(x) —+œ'(x), f(x) = (x), auxquelles doivent satisfaire l’ordonnée du cercle limite et ses dérivées par rapport à x au point M. En d’autres termes, si l’équation du cercle limite est mise sous la forme (p— a) (y = RI=S,

et sion en tire les deux dérivées premières,

dy dy° d rt Cr ee 14 + T0, Re À res ; dy d°y ces équations devront être vérifiées lorsqu'on y remplacera #, y, =; —“* doit

par les valeurs des mêmes quantités appartenant à la courbe au point M, Mais on voit que l’on retombe ainsi sur les équations (1), (2)et(3) du n° précédent, pour déterminer le centre (x, G) et le rayon R du cercle osculateur. Il en résulte que le cercle osculateur ne diffère pas du cercle de courbure. |

On trouverait encore le même cercle en cherchant la limite d'un cercle tangent à la courbe en M et la coupant en un point infiniment voisin M’.

220. Si la position du point M varie sur la courbe, celle du centre de courbure Z variera également. On peut considérer y, x, B, R comme des fonctions continues, en général, de x, déterminées par l'équation F(x, y) = o de la courbe et par les équations (1), (2), (3).

Le lieu du centre de courbure Z sera une nouvelle courbe, dite la développée de la courbe primitive, laquelle prend alors le nom de développante.

Pour trouver les propriétés de la développée, différentions les équations (x) et (2) en observant que y, «, B, R y dépendent de x. La seconde donnera

da dy dE\ dy d?y go rh te de dort

dx dx dx) dx

équation qui se réduira, par (3), à

De la première, on tirera

Mai TE)+u-B (EE) RS

d’où, en vertu de l’équation (2),

(5) (x — a) da (y — 8) dB = — RdR.

Enfin, combinant (2) et (4), on a

ma y—8 @— 2) dat (y —P) dB, Ve) + =D

= ——— | EE —————p

de dB da? + dp? dé + df

et cette dernière égalité se réduit, par les équations (5) et (x), à (6) dR = + y/da? + de’.

L’équation (4) nous montre que la tangente en Z à la développée, dont le coefficient angulaire est d£ : dx, est perpendiculaire à la tangente en M à la courbe, et comme elle a un point sur la normale, savoir, le point Z, elle se confond avec cette normale. Donc, la normale à la courbe en un point touche la développée au centre de courbure qui correspond à ce point. ù

De plus, si l’on désigne par o la longueur de l’arc de la développée compté à partir d’un point fixe jusqu’au point Z, dans le sens ow le rayon R va en croissant, on aura, comme on sait

da TE,

et la formule (6) donnera dR — do. R et o sont done deux fonctions

de x qui ne diffèrent que par une constante (94), et si R’, R’’ repré-

sentent deux rayons de courbure de la développante ; o’, «’’ les arcs de

la développée qui se terminent respectivement à ces rayons, nous aurons R'—R'—0" — 5’;

la longueur d'un arc de la développée est égale à la différence des rayons

de courbure de la développante, tangents à ses extrémités.

Cette propriété suppose, comme on l’a dit, que dR : dc reste de même signe sur toute l’étendue de l'arc, ou que Île rayon de courbure R varie toujours dans le même sens de R’ à R’’.

211. Le théorème précédent conduit à la conséquence que voici : concevons un fil parfaitement flexible, inextensible, sans épaisseur, appliqué sur la développée dont il se détache tangentiellement en Z pour venir se terminer à la développante en M. Imaginons que l’on développe ce fil en le détachant successivement de la développée et le tenant toujours tendu ; le point M, extrémité du fil, décrira la développante. En effet, la portion rectiligne du fil s’accroît, d’une position MZ (fig. 27) à une autre M’Z', d'une longueur égale à l’arc ZZ/ de la développée sur lequel le fil était appliqué ; égale, par suite, à l’acroissement du rayon de courbure R entre les points Z et Z’; M’Z’ sera donc encore égal au rayon de courbure qui touche la développée en Z/, et coïncidera avec lui; M’ sera donc sur la développante.

Cette remarque permet de faire voir que le cercle de courbure relatif à un point traverse généralement la courbe en ce point en même temps qu'il la touche. Considérons trois rayons de courbure MZ,M'Z',M/’Z'',infiniment voisins. Joignons M et M’ au centre de courbure Z’ qui répond au point M’. D’après le théorème ci-dessus, on aura, dans les triangles Z/MZ, Z'M''Z/', les relations k suivantes : |

Le cercle décrit du centre Z’ avec le rayon M’Z' coupera donc MZ’ au delà du point M, MZ/’ en deça de point M”, et traversera par conséquent la courbe au point M.

232. La recherche de l'équation entre « et de la développée d’une courbe F (x, y) — o se fait en remplaçant dans les équations (2) et (3) les valeurs de dy : dx, d?y : dx? en x et y tirées de l'équation de la courbe, puis éliminant x et y entre ces équations et celle de la courbe.

Réciproquement, si l’équation o (x, B) —o de la développée d’une courbe est donnée, pour remonter de cette équation à celle de la développante, on tirera de l’équation o — o l’expression de dB : dax en «et G, et on la substituera dans l’équation (4), ce qui donnera une relation

entre «, 3 et dy : dx. On éliminera « et 6 entre cette relation, l'équation p(x, B) = o ct l'équation (2), ce qui fournira une équation entre x, y et dy : dx, qui sera l'équation différentielle de la développante. Le caleul intégral sera nécessaire pour en tirer l’équation F (x, y) — 0 de cette courbe, et, comme on le verra, cette dernière renfermera nécessairement une constante arbitraire qui permettra de trouver, pour une développée donnée, une infinité de développantes. Ceci s'accorde avec ce qu’on a vu plus haut de la génération de la développante par le moyen d’un fil ‘enroulé sur la développée.

213. Applications. — I. Coniques en général. L’équation des coniques peut se mettre sous la forme

(a) y = p} + 2pex — (1 — 6) x”,

l’origine étant à un foyer F (fig. 28), l’axe des x suivant l’axe focal de la courbe, p désignant le demi-paramètre et € le rapport des distances d’un point de la courbe au

foyer F et à la directrice correspondante, On tire de cette équation (x), réductions faites,

dy 6 dy p ae CE NOM EQUT EN EpenT

Soit N la longueur de la normale ; l'expression

générale du rayon de courbure, d’après les équa- Fig, 28. tions (6) du N° 482 et (II) du N° 206 peut se mettre sous la forme N° N° = E —— — — R SD: ou (5)R “=

dans le cas actuel. Donc, dans les coniques, le rayon de courbure est égal au cube de la normale divisé par le carré du demi-paramètre.

Projetons la normale MN sur le rayon vecteur FM en MG; soient FM — r, FMN — y l'angle entre la normale et le rayon vecteur. On à par l’équation (x) |

r = p + ex, EN — + y e(p ex) cr,

FG— FN cos NFG — er cos NFG — ex, MG = FM — FG= 7 — ex = p,

ce qui nous apprend que la projection de la normale sur le rayon vecteur est constante et égale au demi-paramètre.

De la relation MG=Ncosy=p

et de l’équation (B), on conclut pour l'expression de R,

cos” y k

d’où la construction suivante pour le centre de courbure des coniques : on élève sur la normale MN, au point N. où elle coupe l’axe focal, une perpendiculaire NH, et au point H où celle-ci coupe le rayon vecteur FM, une perpendiculaire à ce dernier; cette perpendiculaire ira rencontrer la normale MN au centre de courbure Z, correspondant au point M.

II. Parabole. — Il faut poser € — 1 dans l'équation (x); on a Gps MOY pe 2 — — = — — = — — 3

() y =p(p + 2x), dx y AL AE 5 et la formule du rayon de courbure donne

po (pe de y}, P

Cherchons la développée. Les équations (2) et (3) deviennent

HIS Ke — 10 I p° — PERS + (y D EURE (y D

et de la dernière on tire

41 2 + ou y— — (ip.

De la première Ep y° & — 2p L—A——Pp+——=—p——-— —2p—2X, X————— .

Substituant ces valeurs de x et de y dans l'équation (y), on trouve pour l'équation de la développée de la parabole 2 24 —9p

65 me n 3p° Courbe symétrique par rapport à l’axe de la parabole, ayant son sommet et un rebroussement de première espèce tangent à cet axe au point

ne Rt— 0).