PLAN

Fig. 29. ab représente donc (240) la longueur de l’arc AB; de la développée, ou le quart du périmètre de cette courbe.

HI. Hyperbole : l'équation de cette courbe

se déduisant de celle de l’ellipse par le changement de b? en — b?, il suffira de faire ce changement dans les calculs précédents. Le rayon de courbure aura la même expression; l'équation de la développée, en

posant c? — a? + b?, Achat cAi D:

sera

2 2 5 5 A B IV. Cycloïde. — Les équations de cette courbe

x — a (o — sin &), y —= a (1 — cos w)

donnent immédiatement (ch. XVII, ex. 2) ds — 2a sin + wdo.

D'autre part, la tangente MB (fig. 30) à la cycloïde passant par le point B, diamétralement opposé au point de contact A, son inclinaison p sur l'axe

des x (considérée comme positive ou négative selon que ® est < ou > t), aura pour expression

et la formule (1) du N° 205 nous donnera (d) R— LT — qusin so.

Mais la longueur N de la normale MA a évidemment pour expression N — 2a sin 5 ©, done R—2N. Le rayon de courbure de la cycloïde est double de la normale.

Cette propriété permet de trouver la développée de la cycloïde presque sans calcul. Le centre de courbure étant au point Z, la droite MZ est partagée en deux parties égales au point A, ce qui donne immédiatement (184, 5)

a — OA —+ a sin © == a (© + sin w), B——y——a(1 — cos),

Posons ax +ar, B—y —2a, o—TrT+", ce qui revient à transporter l’origine au point D’ qui a pour coordonnées : aT, — 24.

Nous trouverons

xz'=a(o —sinw), y —a(r— cos w’), équations d’une cycloïde égale à la première, puisque le rayon a du cercle générateur est le même, mais dont la position est différente ; on l’obtient en déplaçant la cycloïde primitive d’une quantité ra parallèlement à l’axe des x positifs, et d’une quantité 2a parallèlement à l’axe des y négatifs: Les sommets de la développée coïncident avec les points de rebroussement de la développante.

Des considérations géométriques conduisent aux mêmes résultats.

D’après lé théorème connu, l’arc OZD’ de la développée est égal à la différence des rayons de courbure correspondants de la développante. L'expression (9) donne R—0o au point O et R— 4a au point D. Donc l'arc OZD’ — 4a, la longueur d’une arcade de la cycloïde est donc égale à 8a, ou à quatre fois le diamètre du cercle générateur.

234. — V. Spirale logarithmique. — De l'équation r — ae”Ÿ de cette courbe on tire

dr ELA PES —, Ho eu ns me UE R=ry1+m"!,

d’après l’équation (IV). On a vu d’ailleurs (ch. XIV, ex.8) que dans cette courbe la longueur N de la normale polaire est donnée par la même

expression rp/1—+m°. Dans la spirale logarithmique, le centre de courbure est donc au point de rencontre N de la normale ct de la perpendiculaire au rayon vecteur menée par le pôle O. Si donc r’, 0’ sont les coordonnées du centre de courbure, on aura

r'—ON—=S,— mr, 9 = = +0,

et l'élimination de r et 8 entre ces équations et celle de la courbe donnera r' = mac pour l’équation de la développée de la spirale. Mais celte développée est une sptrale égale à la première, car en faisant tourner l’axe polaire autour du

pôle, de manière à augmenter l’argument d’une quantité « vérifiant

mae =, on retombera sur une équation identique à celle de la spirale primitive.

l'équation

Exercices.

4. Démontrer les formules suivantes, où R désigne le rayon de courbure, # l’inclinaison de la tangente sur l’axe des x; r, P les distances de l’origine au point de contact et à la tangente :

I d'x \° d'y \° I dsinpy dr me —— =, n R — —— 0 :=(%) (a): Rai UT