DU CONTACT DES COURBES ET DES COURBES OSCULATRICES

215. Soient (A), (B) (fig. 31) deux courbes planes, ayant respectivement pour équations, par rapport à un système d’axes rectangulaires ou obliques,

M (x, y) étant un point de la courbe (A), si la courbe (B) passe par ce point, pour Ë = x on aura — y ou ® (x) — f(x). À partir du point M, donnons à l’abscisse x un accroissement infiniment petit hk, positif ou négatif. La différence f (x + h) — ® (x + h) des ordonnées des courbes (A) et (B) qui répondent à l’abscisse x - k sera, en général, un infiniment petit de même ordre que h, comme on le verra plus loin. On dit alors que les courbes (A) et (B) se coupent au point M.

Mais cette différence f (x —- h) — o (x + h) peut être du dexième

(1) On peut consulter sur cette question Parnvin (Annali di matematica, série IT, t, IV, p. 215).

ordre par rapport à h, et les courbes (A) et (B) ont alors un contact du premier ordre au point M. En général, les deux courbes (A) et (B) sont dites avoir en un point commun M un contact de l'ordre n lorsque, pour un accroissement infiniment petit h de l’abscisse x de ce point, la différence des ordonnées correspondant à l’abscisse x h dans les deux courbes est un infiniment petit de l'ordre n + 1 par rapport à h. | Cette définition exclut essentiellement le cas où la tangente en M à l’une des courbes (A) et (B) serait parallèle à l'axe des y, car l’ordre infinitésimal de l’accroissement de f (x) ou de ® (x) serait alors altéré. Abstraction faite de cette hypothèse, on s’assure que l’ordre du contact ne dépend pas du choix des axes et que la définition exprime une propriété indépendante de leur direction. En effet du centre M, avec un rayon infiniment petit, décrivons l’arc de cercle M'M”’. L’are MM’ de la courbe (A) et l'accroissement correspondant k sont de même ordre, car la limite de leur rapport ds : dx (200) a une valeur finie, déterminée, puisque dy : dx n’est + pas infini dans le cas actuel. La différence M’ des Fig. 31. ordonnées des deux courbes est de même ordre que la corde MM”, car dans le triangle rectiligne M'uM’’, la direction M

a pour limite celle de la tangente en M à la courbe (B) comme il est facile de s’en assurer (ch. IIT, ex. 6); la direction M’M”, à la limite, est également inclinée sur les tangentes à (A) et à (B) au point M; les angles en u' et M’’ tendent donc vers des limites déterminées différentes de zéro, et il en est de même du rapport de leurs sinus; il en est donc aussi de même du rapport des côtés Mu’, MM’.

L'ordre infinitésimal de M’ par rapport à h est donc le même que * celui de la corde M’'M’’ par rapport à l’arc MM’, et est ainsi indépendant de la direction des x, sauf dans le cas que nous avons exclu.

Si les courbes (A) et (B) ont au point M un contact de l’ordre n, il est impossible qu’une troisième courbe (C), ayant avec l’une d’elles en ce même point un contact d'ordre inférieur à n, passe entre:les deux premières. Autrement, l’ordonnée de cette courbe (C) différerait moins de l’ordonnée de la courbe (A) pour des valeurs infiniment petites de h, que l’ordonnée de la courbe (B); or cette seconde différence, étant d’un ordre plus élevé que la première, par hypothèse, finit par devenir toujours plus petite en valeur absolue (88).

216. Supposons que les fonctions f (x) et o (x) soient continues ainsi que leurs dérivées jusqu’à l’ordre n + 1 inclusivement, dans le voisinage de la valeur x qui appartient au point commun. Développons [(& + h)— (x + h) par le théorème de Taylor, ce qui nous donnera

Asus —9(+h)= f(x PARLE €

DE tp (x) — 9 — q" (x)] LP (20h) gt (0 1.2... (nr) * Ÿ <

f(x) — ® (x) étant nul, comme on l’a vu, il suit qu’en général f(x +h) — œ({x + h) sera de l’ordre de h, ainsi qu'on l'avait annoncé. Si f (x) = ® (x), f(x + h) — o (x + h) sera du second ordre et les deux courbes auront un contact du premier ordre. Pour que f(x +) — p(x + h)soit de l’ordre n + 1 par rapport à h, il est nécessaire et suffisant, d’après l'équation précédente, que les termes d'ordre inférieur

ñn

à n + 1 disparaissent tous du second membre, mais que le coefficient du h"t1 ne soit pas infiniment petit. De là résultent les équations

() Fo) = (@) fo) = p (n), 2, fr (6) = q (x), PA (eZ et (x).

Ces équations expriment les conditions analytiques du contact d’ordre n de deux courbes planes en un point M. Donc, pour que deux courbes planes (A) et (B) aient, en un point M, un contact de l’ordre n, il faut et il suffit que les ordonnées de ces deux courbes et leurs dérivées de même ordre par rapport à l’abscisse, soient égales deux à deux jusqu’à l’ordre n inclusivement, pour la valeur de x qui correspond au point M ; tandis que les dérivées de l’ordre n Æ 1 auront des valeurs différentes.

217. Si l’équation de la courbe (A) est donnée ainsi qu’un point M (x, y) sur cette courbe, tandis que l’équation de la courbe (B) est donnée de forme, mais renferme un certain nombre de paramètres indéterminés, on pourra se proposer de déterminer ceux-ci de manière que la courbe (B) passe par le point M et ait avec la courbe (A), en ce point, un contact de l’ordre le plus élevé possible. La courbe (B) est alors, parmi toutes celles dont l’équation a la même forme, celle qu’on nomme l'osculatrife de la courbe (A).

Supposons que l'équation de (B) renferme n + 1 coefficients arbitraires. D’après la théorie exposée plus haut, on exprimera que l’ordonnée et ses dérivées successives jusqu’à l’ordre n, par rapport à x ont des

valeurs égales dans la courbe (A) et dans la courbe (B), pour la valeur de x qui répond au point M. On obtiendra ainsi n + 1 équations qui, généralement, pourront être vérifiées par des valeurs convenables des paramètres, et suffiront à les déterminer complètement. La courbe osculatrice (B) sera ainsi déterminée. L'ordre du contact d’une osculatrice sera donc inférieur d’une unité, en général, au nombre des paramètres arbitraires renfermés dans l’équation des courbes de même espèce.

218. Applications. — I. Droite osculatrice. L'équation de la ligne droite

n = aË + b

renferme deux paramètres a, b : le contact sera généralement du premier ordre. On devra satisfaire aux équations (1), savoir

y—=ax+b, f(x) — a, et en éliminant a et b, on aura pour l’equation de la droite osculatrice

On reconnaît l’équation de la tangente à la courbe (A) au point (x, y). La tangente n’est donc autre chose qu'une droite osculatrice. Le contact, généralement du premier ordre, peut s'élever au second en certains points particuliers. L’équation de la droite donne, en effet, o’’ (x) = 0; done, si f”’ (x) — 0, ce qui a lieu pour un point d’inflexion, le contact sera du second ordre.

II. Cercle osculateur. — L’équation du cercle en coordonnées rectangulaires | (2) E—caÿ +(i—f$} =R, renferme trois paramètres «, 5, R, ce qui permet un contact du second ordre en général. Dérivons deux fois cette équation par rapport à E(x, et R étant constants), et remplacons, dans l’équation (2) et dans ses deux équations dérivées, les quantités &, n, Dn, D?n respectivement par x, y, f (x), f(x), conformément à la théorie des contacts exposée plus haut : nous aurons les trois équations auxquelles doivent satisfaire «, B, R pour que le cercle (2) ait un contact du second ordre avec la courbe donnée (A) au point (x, y). Nous avons ainsi

(ra) (y SIR, x —a+(y —)/f'&)=0, 1+ fc) + (y — 6) f'()= 0.

Ces équations sont précisément (208) celles qui déterminent le centre de courbure (x, B) et le rayon de courbure R au point M : le cercle de courbure est donc, parmi tous les cercles qui coupent une courbe en un point donné, celui qui a avec cette courbe le contact de l’ordre le plus élevé.

Remarquons que, ce contact étant du second ordre, la différence f(x +. h) — o(x + h) entre l’ordonnée de la courbe et celle du cercle osculateur est du troisième ordre par rapport à h; elle change donc de signe en même temps que h, et l’on retrouve cette propriété déjà démontrée (241), que le cercle de courbure traverse la courbe au point même où il la touche.

IT. Paraboles osculatrices. — Nous désignons par le nom de paraboles d'ordre n les courbes comprises dans l’équation

n= a+ bË + c£ +. per, qui renferme n +1 paramètres arbitraires a, b,... p. Une telle courbe peut avoir un contact d’ordre n avec une courbe (A) en un point donné, et la détermination des paramètres peut ici se faire très simplement. Développons n — o (x + h) suivant les puissances ascendantes de À par la formule de Taylor, en remarquant qu'ici les dérivées d’ordre supérieur à n de @(£) sont nulles. On a donc

(œ+h)—=œp(x) +ho (a) + Ep" (++ rtemorrnpu(a) :

mais les équations (1) nous donnent immédiatement ® as: op’ es Gi et en remplaçant h par Ë — x, nous aurons

= a) + EE — 2) Pa) ED pr (2) + ET pe (a)

Telle est donc l’équation de la cpl osculatrice à la courbe (A), et la détermination des paramètres a, b, ... p se trouve ainsi faite d’une manière indirecte.

Cette théorie du contact des courbes suppose, comme on l’a dit, certaines conditions relatives à la continuité des fonctions f (x), ® (x) et de leurs dérivées : elle n’est donc pas applicable aux points où ces conditions cessent d’être vérifiées, et l'ordre du contact peut même alors devenir un nombre fractionnaire. Ainsi, pour la courbe qui a pour équation (ch. XVI, S 1, ex. 8)

on a, au point (x — 0, y — à), f(x) — 0, f’' (x) = + « . On s’assurera que la courbe a avec sa tangente en ce point un contact de l’ordre 2 : 3. Le rayon de courbure est nul.

Exercices.

#4. Etant données une courbe et sa tangente en un point A, on déplace chaque point M de la courbe, parallèlement à cette tangente, de façon que la droite qui joint sa nouvelle position M’ à la projection P du point M sur la tangente fasse avec MP un angle constant «. Montrer que la transformée a, avec la courbe primitive, un contact du second ordre au point À. Que faut-il pour que le contaet soit du troisième ordre.

R. Soient, par rapport à la tangente et à la normale au point A, x et y les coordonnées du point M ; +’, y’ celles du point M’. On ay'—= y, x’ — x +- y tg «. Calculant dy’ : dx’ et d?y’ : dx'?, et appliquant au point A, on trouve le théorème. Le contact est du troisième ordre si d?y : dæ? = 0.

2. Si l’on détermine les n + 1 paramètres arbitraires de l’équation d’une coutbe (B) de manière que cette courbe ait, avec la courbe (A), n + 1 points communs infiniment voisins, la courbe (B) a pour limite l’osculatrice de la courbe (A).

3. Si deux courbes ont, en un point, un contact de l’ordre n, leurs développées auront, au centre de courbure correspondant, un contact de l’ordre n — 1 ; les développées de ces développées un contact de l’ordre n — 2, et ainsi de suite.

4. On prend sur une courbe, à partir d’un point M, un arc infiniment petit MM’ —s. Soient c la corde de cet arc, R le rayon de courbure de la courbe en M, R’ celui de la développée; # et « les angles formés avec la tangente en M par la tangente en M’ et la corde MM’ respectivement ; T le point de concours des deux tangentes.

Démontrer que l’on a

55 2 R’ 3 ne 2 MIS ENT Re

en négligeant des infiniment petits d'ordre supérieur.

5. Lorsque deux courbes ont, en un point M, un contact du second ordre, si l’on prend, à partir de ce point, des arcs infiniment petits égaux sur les deux courbes, la distance entre leurs extrémités, projetée sur la normale en M, est un infiniment petit du 5° ordre

ee rs À — Ki), et, projetée sur la tangente, un infiniment petit du’quatrième ordre He PAPE À sn L'on

R’ et R, désignant les rayons de courbure respectifs des développées des deux courbes au point M.