ENVELOPPE D'UNE COURBE PLANE
219. Une équation de la forme (1) F(x,y, a) = 0, dans laquelle « désigne un paramètre arbitraire, représente un système de lignes, droites ou courbes, en nombre infini, que l’on obtient en attribuant au paramètre « des valeurs déterminées. A deux valeurs «, «a+ h du paramètre répondent deux lignes (C), (C’) qui, en général, se couperont en un ou en plusieurs points. Soit M, l’un de ces points d’intersection. Si l’on attribue à À des valeurs indéfiniment décroissantes, la ligne (C1) tendra à se confondre avec la ligne (C), et le point M, tendra, sur cette dernière, vers une position limite M. Le lieu de ces points M sur toutes les lignes du système (r) est ce qu’on appelle l'enveloppe de ces lignes.
Pour trouver l'équation de l’enveloppe, appelons (x1, y:) les coordonnées du point M,; elles vérifieront les équations des deux lignes (C) et (C’), donc
Fairy a)—0, Fa, y, ah) — 0, et par suite F (a, ya, @ H h) —F (as, ya, à) = 0.
Si la fonction F(x:, y:, x) est simple et admet une dérivée partielle par
rapport à «, on aura (94), 0 étant > oet <r. Fais ya + h)—# (a, ya, à) — h FY (as, ya, « 0h), et par conséquent FX (au, y, & 0h) — 0.
Mais, k ayant pour limite zéro et x1, y1 tendant respectivement vers les coordonnées x et y du point M, celles-ci satisferont à l'équation (2) Fa ya} 0:
D’après cela, les points M qui, sur la courbe (C), appartiennent à l'enveloppe, sont déterminés par les équations (1) et (2) :
HiTAU a) = 0, FA (7 aG) EE TO.
Si l’on élimine « entre ces deux équations, on aura entre x, y une
relation indépendante de la valeur du paramètre à; ce sera l'équation de l'enveloppe. Ainsi, l'équation de l'enveloppe d'un système de courbes s'obtient en éliminant le paramètre à entre l'équation F (x, y, «) = 0 des courbes du système et sa dérivée partielle F} (x, y, «) — o par rapport à
ce paramètre.
220. Si la fonction F (x, y, «) était à détermination multiple, le point
M, pourrait répondre, sur la courbe (C), à l’une des formes de la fonction, sur la courbe (C”) à l’autre, et la formule de Bonnet (94) ne serait plus applicable. Ainsi, l'équation d’un cercle de rayon donné a dont le centre parcourt l’axe des y, peut s’écrire sous les deux formes x L(y—a)} —a—=0o, y—=a+t /a? — x’; sous la première, F est une fonction simple, l'application de la règle ci-dessus donne pour l'équation de l’enveloppe DU ON OUT EU, système de deux droites parallèles à l’axe des y, ce qui est exact. Mais, appliquée à la deuxième forme, la règle conduirait au résultat absurde 1 — 0, parce que les points d’intersection de deux cercles infiniment voisins correspondent, sur l’un des cercles, au signe + du radical, sur l’autre, au signe —. En égalant les valeurs de y, on trouve 2Wat—x—h,
cet à la limite À — o on retrouve l'équation des deux droites a? — x? — 0.
221. L'enveloppe du système de lignes (1), en général, touche chaque enveloppée (C) au point d'intersection limite M.
On peut considérer les équations
F(x,y,aæ)—0o, Fix; y,«)—0o comme exprimant les coordonnées x, y d'un point quelconque de l'enveloppe en fonction d’une variable auxiliaire «, et en les dérivant totalement par rapport à «. on en tirera les dérivées de x, y par rapport à «. La première donne ainsi OF dx , dFdy , 0F ED 220
Mais, chaque point de l'enveloppe satisfaisant à l'équation (2), le
dernier terme disparaît, et l’on a
Cette expression du coefficient angulaire de la tangente est la même que fournirait l’équation (1) considérée comme équation de la courbe (C), c’est-à-dire, « étant constant. Donc au point M, où x, y, « ont la même valeur pour les deux courbes, la tangente est la même.
C’est ainsi que la développée d’une courbe, qui peut-être considérée comme l'enveloppe des normales d’après la remarque du n° 207, est tangente à chacune de celle-ci au centre de courbure correspondant (210).
Mais ce théorème souffre des exceptions. Si, par exemple, l'équation (1) était de la forme
PXQ—=o,
P et Q étant des fonctions de x, y, «, on aurait, pour trouver l’enveloppe, à éliminer « entre cette équation et l'équation
0Q OP P — ——= 0 du + do Ce système se ramène aux trois suivants :
oP 0Q
DO 0 00 0 Pl 0, 0 —
Le premier donne l’enveloppe des courbes P — 0; le second celle des courbes Q — 0 ; le troisième, le lieu des points doubles des courbes PQ — 0, lieu qui, en général, ne sera pas tangent aux courbes P — 0 ni aux courbes Q — o. Au reste, dans ce cas, la valeur ci-dessus de dy : dx se présente sous la forme o : o (491). |
222. Le problème des courbes enveloppes se présente souvent sous une autre forme. L’équation du système de courbes
(3) - | F (x, y, a, 6) — 0 renferme deux paramètres variables « et G, liés entr’eux par une équation Oh p(& PB — 0.
On peut donc, dans l’équation (3), considérer G comme une fonction de «, définie par l’équation (4), et pour appliquer la règle du N° 249, on devra poser
OF dé do d6 RH F HER “je
ou par l'élimination de dB : da, OF do OF 09 (5) RIRE Cette équation, qui remplace l’équation (2) pour le cas présent, jointe
à (3) et à (4), permet d'éliminer « et G et d’arriver à l'équation de l’enveloppe. Soient, comme exemple,
ARIRÈL Lu CAPES
les équations (3) et (4); a, b sont donnés, ainsi que les nombres m et p. L’équation (5) sera ici
eee ne mm
LME y SET
et par suite
a+? ZA a” br? br
d’où, éliminant « et 6 de l'équation entre « et G,
Kb d' dd 2 4 m+p m+ G) es
ce qui sera l'équation de l'enveloppe.
Pour m—1,p — 2,b = a, on trouve l’enveloppe dance droite de longueur constante dont les extrémités s’appuient sur deux axes rectangulaires. C’est la courbe
25 sl == dé, épicycloïde engendrée par un point d’une circonférence du rayon a : 4 roulant intérieurement sur un cercle de rayon a. Pour m— 2, p —0, la courbe variable est une ellipse dont les sommets sont les projections des points d’une ellipse fixe sur ses axes. L’enveloppe est un système de quatre droites
223. On doit observer que la règle du N° 229 subsiste intégralement si dans l'équation (1) x, y, au lieu de représenter des coordonnées rectilignes, représentaient des coordonnées polaires ou d’autre nature. On choisira donc, pour représenter la courbe variable, le système de coordonnées dans lequel l'équation de cette courbe sera de forme simple par
rapport à æ.
Exercices.
4. Enveloppe d’un cercle de rayon variable dont le centre parcourt l’axe des æ : (@ — aa) + y? = a? sin° «.
R. L’équation de l’enveloppe résulte de l’élimination de x entre les deux équations
æ—- (24 — sin 2x), y —-(1I— cos 2x).
D Ie
C’est une cycloïide engendrée par un cercle de rayon a : 2.
2. Un angle constant À tourne autour de son sommet fixe A ; ses côtés coupent une droite fixe PQ en deux points B et C. Trouver l’enveloppe du cercle circonscrit au triangle ABC. |
R. Soit a la perpendiculaire du point A sur PQ, Cette perpendiculaire est prise pour axe des x, l’origine en À, l'axe des y parallèle à PQ ; l'équation de l’enveloppe est
A EN CP Ca UP er (e + y sin A Ent A He:
elle se compose du point À et d’un cercle dont il est facile de trouver le centre et le rayon. (Ce problème se résout aussi géometriquement). 8. L’enveloppe (E) de la droite mobile
(x) x SIN & — y COS «a — p(a)— 0 s'obtient par l’élimination de « entre cette équation et celle-ci : (8) x COS & + y sin &« — y?’ (x) = 0.
Montrer 1° que cette seconde équation est celle de la normale à l'enveloppe au point de contact; 2° que la développée (E:) de la courbe (E) s’obtient en éliminant « entre l'équation (8) et (1 .. œsina—ycos à + (a) =0; la développée de (E;) en éliminant « entre (y) et æ cos & + y sin « +?” (x) —0, et ainsi de suite ; 3° que les rayons de courbure R, R;,... des courbes (E), (E:).... sont
donnés par les formules R=y()+g"(e) Ri=g'(e) + (a)
4. De chaque point P d'une courbe on mènc des parallèles aux axes coordonnés, et l’on joint par une droite les points où ces parallèles coupent les axes. Trouver l’enveloppe de cette droite.
R. Soient (x, 8) les coordonnées du point P, f(x, B)— 0 l'équation de la courbe. L’équation de l'enveloppe résulte de l’élimination de «, 8 entre les équations
| Ra Si l’on prend successivement pour la courbe f (x, 8) = o une droite - Ê— 1, une a
parabole 8% — 2px, une hyperbole «8 — c? : 4, on trouvera pour l’enveloppe
1 1 ART Le à c?
5. On donne un cercle fixe (A) et une eourbe (C), de chaque point P de celle-ci comme centre on décrit un cercle (B) qui coupe orthogonalement (A). Trouver l'enveloppe (E) de ce cercle. Cas particulier où (C) est une ellipse concentrique à (A).
R. L'origine des axes rectangulaires étant au centre O du cercle (A), soient (x, 8) les coordonnées de P, f(x, 8) —o l’équation de (C), c le rayon de (A). L'équation de l'enveloppe résulte de l'élimination de «, 8 entre les équations
d a+y—2ax— 28y +0, æ+y—o, f(a8)=0.
Taéonëme : Si du point O on mène OT perpendiculaire sur la tangente à (C) en P, les deux points où OT coupe (B) appartiennent à l'enveloppe, et l’on a r? — 2Pr + c?—0; r, P étantles distances de O à l’un de ces points et à la tangente. Pour l’ellipse, on a |
GE 8 AE 2 2 2,2 3,2 1 eu fm OU Le PU te Al or CO LE
6. Démontrer que, dans le problème du N° 222, les rayons de courbure R et R, d'une enveloppée et de l'enveloppe, au point de contact M, ont entr'eux la relation
en (er )n.
2. La caustique par réflexion d’une courbe (C) pour un point lumineux A (1) est la développée de la podaire, par rapport au même point, de la courbe (C') obtenue en prolongeant d'une longueur égale chaque rayon AP mené du point À à la courbe (C). Déduire de là la relation
(1) On nomme ainsi l'enveloppe des rayons émanés de À et réfléchis sur la courbe (C).
r étant le rayon incident AP, 4 le rayon réfléchi terminé au point où il touche son enveloppe, R le rayon de courbure de (C), i l’angle d'incidence. 8. Caustique par réflexion d’un cercle de rayon a, le point A étant sur la cir-
conférence.
R. Pour un choix convenable du pôle et de l’axe polaire, on trouve
= (1 +- cos 6) (Cardioïde).
9. Trouver l’enveloppe de la perpendiculaire au rayon vecteur d’un point quelconque P d'une courbe, menée par ce point,
R. Soit 8 = f(x) l'équation en coordonnées polaires de la courbe donnée ; celle de l'enveloppe résultera de l’élimination de (+) entre les équations.
r cos (9—x) —f(a); rsin (8— a) — f" (x).
