CHAPITRE XXI
TANGENTE ET PLAN NORMAL EN UN POINT D'UNE COURBE GAUCHE; PLAN OSCULATEUR, COURBURE ET TORSION.
224. On nomme courbe gauche ou courbe à double courbure toute courbe qui n’a pas tous ses points dans un même plan. Une telle courbe est représentée par deux équations entre les coordonnées x, y, z d’un quelconque de ses points, par rapport à trois axes rectangulaires OX, OY, OZ, en sorte que deux de ces variables sont fonctions de la troisième. Mais, pour plus de symétrié dans les formules, nous considérerons x, y, z comme des fonctions d’une même variable indépendante t, dont la différentielle dt sera toujours prise constante, et nous admettrons que ces fonctions aient des dérivées par rapport à {, que nous désignerons respectivement par x’, y’, z’. Nos formules comprendront le cas où l’on choisirait pour variable indépendante l'une des coordonnées, x par exemple; on ferait { — x, x — 1, dx — const.
225. Soient M, M’ deux points sur une courbe dans l’espace; £, t + A t les valeurs correspondantes de f. La droite menée du point M au point M’ a ses cosinus directeurs respectivement proportionnels à
Ax Ay Az ANNOPAT NET et lorsque le point M’ se rapproche indéfiniment du point M, At tend vers
zéro, ces rapports ont pour limites respectives x’, y’, z’. La droite MM’ tend donc vers une droite limite ou tangente qui a pour équations, 6, n, 6 désignant les coordonnées courantes de cette droite, qui passe par le
point (x, y, 2),
(1) x’ nan y 2! d ses cosinus directeurs «, G, y sont donnés par les relations (2) 2, AP PECNT. pe cASAP ANT ERNEES dx dy dz /dx? + dy? + dz°
le double signe correspondant aux deux directions que l’on peut distinguer sur la droite à partir du point M.
L’équation de la projection de la tangente sur le plan XY, RUES 2 E— x), comparée à l’équation (1) du n° #80, montre que la projection de la tangente à la courbe sur un plan arbitraire est tangente à la projection de la courbe, au point de contact projeté.
226. La définition de la longueur d’un arc de courbe (56) s'applique aux courbes à double courbure, ainsi que le théorème du n° 200 : La longueur d'un arc de courbe infiniment petit et celle de sa corde ont pour limite de leur rapport l'unité.
D’après cela, désignons par s la longueur de l’are de la courbe, depuis un point fixe À jusqu’au point M (x, y, z) que l’on considère; s est une fonction de t, dont l'accroissement As pour un accroissement At de la variable, est égal à l'arc infiniment petit MM’; soit c la corde MM’. On a done
ds A
0) C ne —— lim— = € lim— — 12 12 12 a Jr lim + IA + y? 4 7/2,
le radical étant pris positif si l'on compte l’arc dans le sens où la variable t est croissante. On aura donc (3) ds = y dx? + dy? + dz?
pour la différentielle de l'arc. 1] suit de là que les équations (r) peuvent s’écrire
dx dy dz (4) Cr PE PTE
les cosinus directeurs se rapportant à la direction de la tangente prise dans le sens où l'arc s va croissant.
227. Le plan normal, en un point M d’une courbe à double courbure, est le plan mené par ce point perpendiculairement à la tangente en M. La condition de passer par le point (x, y, z) et d’être perpendiculaire à la droite qui a pour cosinus directeurs «, B, y, donne immédiatement
É—ax)a+n—y)PÎ+E—-z2)7=0 pour l’équation de ce plan; ou
(5) E— x) dx + (n — y) dy + (6 — z) dz — 0.
Remplaçant dx, dy, dz par leurs valeurs tirées des équations de la courbe et supprimant le facteur commun dt, on aura l'équation du plan normal.
Tout plan passant par la tangente en M est dit fangent à la courbe; toute droite menée dans le plan normal en M et par ce point est dite une normale à la courbe.
228. Le plan osculateur en un point M d’une courbe gauche dont les équations sont
s=f(n, y=/f(), 2= fi,
est la limite du plan mené par ce point et par deux autres points M’, M’’ de la courbe, se rapprochant indéfiniment du premier. Soit
(a) XE + Yn+Z+P—=o
l'équation du plan MMM”; X, Y, Z désignant les cosinus directeurs de la normale à ce plan. Posons
PE =XFO + Yf (D) + ZE) + P, et soient {, {1, l les valeurs de t auxquelles répondent les points M, M’, M’. La condition pour le plan (a) de passer par les points M, M’, M’ entraine les équations
pÜ—=0, pu)=0o, p(h)—0,
d’où
p(u)—op(t)=0, pla) —p(i)—0, et par suite du théorème de Rolle (9)
l’étant compris entre t et 41, ! entre f, et t:. De celles-ci, par le même théorème,
g'(")=0, t'’ étant compris entre ?’ et t/. Lorsque les points M’, M’’ se rapprochent indéfiniment de M, {i et t: et par suite (’ et {”” tendent vers t. Les valeurs limites de X, Y, Z, P satisfont donc aux équations
pÜ=o, p(t)=o, p’(t)—0, en sorte que X, Y, Z sont déterminés par les équations (6) Xdx + Ydy+-Zdz—0o, Xd'x + Ydy+Zdz=0o, X°+Y += 71. La résolution de ce système donne
X Y Z dyd?z — dzd°y dzdx — dud’z dxd?y — dydx” et l'équation du plan osculateur devient par cette substitution,
(8) (Ë-— x) (dyd?z — dzd?y) + (n — y) (dzd?x — dxd?z)
(EC — z)(dxd?y — dyd?x) = 0.
On remplacera dx, d’x, dy, par leurs valeurs fournies par les équasms tions de la courbe, on supprimera le facteur dt5 et l'on
aura l’équation du plan oseculateur. On observera que. les termes de l’équation (8) se déduisent l’un de l'autre par permutation circulaire.
229. Soit MT (fig. 52) la tangente en M; leplan mené par la tangente MT et par un point M’ infiniment voisin de M a encore pour limite le plan osculateur.
Soit, en effet, (a) l'équation du plan TMM’. La condition de passer par le point M et par la tangente MT, dont les cosinus directeurs sont proportionnels à «’, y’, z', donne les deux équations
PCT ONE ER, et celle de passer par le point M’ donne œ (t,) = o, d’où pH) PE 0,0) 0 PA ON) 0 re EC On a donc, à la limite, pU=o, p=o, p’()—0o, les coefficients du plan limite de TMM! sont déterminés par les mêmes équations que ceux du plan osculateur.
Fig. 32.
Enfin, on trouvera encore le plan osculateur en M en cherchant la limite du plan mené par la tangente MT et par une parallèle MT, (fig. 32) à la tangente MT’ en un point infiniment voisin M’.
Soit encore (a) l'équation du plan TMT;. La condition de passer par le point M et par la tangente MT donnera, comme ci-dessus, les équations
p(t—=0o, (t)—0, et celle de passer par la droite MT;, parallèle à la tangente M’T’, donnera la relation æ’ (t,) — 0. De ces deux dernières on tire, par le théorème de Rolle, p()—p(=0, p’(f)=0, et quand le point M’ tend vers le point M, on a, à la limite,
pÜ—=o, g'(t}=0o, p’()—o, ce qui nous ramène aux équations (6) et montre l’identité du plan limite de TMT, avec le plan osculateur.
230. Lu droite, intersection des plans bilaitlire en ET points infiniment voisins M et M’, a pour limite la tangente en M. L’équation du plan osculateur en M peut évidemment s’écrire
(b) XÉ—2)+YM—y)+ZÉ—2z)=0, et x, y, z, X, Y,Z varient avec t lorsque le point M se déplace sur la courbe. Au point M’, l'équation du plan osculateur est
(X + AX) (6 — x — Ax) + (Y + AY) (n — y — Ay) + (Z + AZ)
(6 — z — Az) —0,
et l'intersection des deux plans vérifie ces deux équations et aussi celle qui résulte de leur soustraction
AX(E— x) +AY(n—y)+AZ(C— 7) —(X Ax + Y Ay+-ZAz)—0, dans laquelle on a négligé les termes du second ordre AXA%, etc. Divisant par At, faisant tendre At vers zéro et observant que Xdx + Ydy + Zdz est nul (éq. 6), on verra que la droite d’intersection limite est déterminée par les deux équations (b) et () EE — x) dX + (n — y) dY (6 — 2) dZ — 0.
Or, les valeurs de £ — x, n — y, 6 — z tirées des équations (a) de la
tangente vérifient l'équation (L), ce qui était d'ailleurs évident, et donnent, dans l'équation (c),
dxdX + dydY + dzdZ = 0,
ce qui est une identité, comme on le voit en différentiant la première équation (6) et ayant égard à la seconde. La tangente satisfait donc aux équations de la droite d’intersection limite et se confond avec elle.
231. Dans les courbes gauches comme dans les courbes planes, la courbure en un point M est la limite du rapport de l’angle des tangentes en deux points infiniment voisins M et M’, à l'arc compris MM’. Cette courbure se représente aussi par celle d’un cercle ayant une courbure égale à celle de la courbe en M, et dont le rayon R se nomme le rayon de courbure de la courbe au point M.
D’après cela, conservant les mêmes notations que ci-dessus, nous aurons
