ANT

n étant entier et positif, ne sont autre chose que les valeurs de z propres à vérifier les équations

2 RL, 2 — RICO PE PSN) et qu’ainsi les formules données plus haut fournissent la solution de ces équations. Les racines des deux premières jouissent, comme on sait, de propriétés remarquables (1).

Soit maintenant un polynôme rationnel et entier en x,

X = a9 + aix H ax? + + L ax", les coefficients &o, a1, .. a, ayant des valeurs réelles ou imaginaires. Si l'on y attribue à x une valeur de la forme «+ (à, il résulte des développements précédents que X se réduira à une certaine expression imaginaire À + Bi, À et B étant réels. Or, si la valeur donnée à x est telle que l’on ait à la fois

A—0, B—=0o, d'où AE Br —0o, on dira que « +- {à est une racine de l'équation X — o. Si 6 est nul, la racine est réelle. L'algèbre prouve qu’il existe toujours n valeurs de x de la forme dite, qui vérifient cette condition, et que si l’on désigne par « +- fi l’une d'elles, X est divisible algébriquement par x — « — fäi, en sorte que l’on a, quelque soit x, X = (x — à — fa)Xi, X, étant un polynôme rationnel et entier de degré n — 1 en x. Il en résulte que si &i fat, ce + (ot, …, on + Bai désignent les n racines de l'équation X — o, on aura identiquement, quelque soit x, X—=H (x — œ1 — fai) (x —- œ2— (ot) .… (x — on — fut),

H étant indépendant de x. |

L’algèbre prouve encore que, si les coefficients @o, &1, .… a, sont réels, et si l'équation X = o admet une racine imaginaire « + (, elle admettra aussi la racine conjuguée « — fi, au même degré de multiplicité.

9. Proposons-nous, comme application des principes précédents,

d'exprimer cos m6, sin m0, m étant un nombre entier, au moyen des puissances de cos 6, sin 0. On reprendra l'équation

cos m0 + à sin m0 — (cos 0 + à sin 6)",

(1) Voir L’Algèbre supéricure de Serre,

HS (rs

on développera le second membre par la formule du binôme, et l’on égalera séparément, d’après le principe fondamental, les parties réelles et les coefficients de ? dans les deux membres. On aura ainsi

mn — 1)

cos MO — cos” Ü — cos”? 0 sin? 9

EUR) OR SENS) cos”—t 6 sint 6 + 2 ET m(m — 1) (m — 14.82,

équations qu'on peut d’ailleurs présenter sous diverses formes(l).

Le problème inverse consiste à exprimer cos” 8 et sin” 0 par les sinus et cosinus des multiples de 8. Pour cela, posons

sin m0 — m cos"! 0 sin 0 — ) eggn-s 8sins0 + ..,

cos 0 —esin0—}, cos0—isin0 — y, d’où l’on tire Res ÂHu—2cos0, À—p—2isin 6, FORTS AE Hu = 2 cos k0, XE — pi — 21 sin k9,

k étant entier. On aura donc

2" COS" (, — (À +- je — À" + mA" u. + (m 72 1) AL

+... SAN TRE rt) Xu. m—2 — HAE + Die

Groupons les termes mu éloignés des extrêmes et appliquons les relations(y); il viendra, en divisant par 2,

271 cos" 0 — cos m8 — m cos(m — 2)9 + "Re Cr (m — 4)0 +.

Si m est pair (m— 2p), le nombre des termes au second membre sera p + 1, et le dernier aura pour valeur

Si m cest impair (m— 2p+-1), le nombre des termes sera encore p + 1 et le dernier sera

(2p + 1)2p ie 2)