S 9. DES NOMBRES IRRATIONNELS ET DES LIMITES

410. La mesure des grandeurs concrètes au moyen d'une unité de même nature donne naissance aux nombres entiers et aux nombres fractionnaires, dont on étudie ensuite les propriétés abstraction faite des grandeurs qu’ils mesurent, et qu’on nomme ensemble nombres rationnels ou commensurables, On reconnait qu'entre deux nombres rationnels, si petite que soit leur différence, on peut toujours intercaler un nombre illimité d’autres nombres rationnels ; en d’autres termes, £ désignant une fraction aussi petite qu’on le veut, il est toujours possible de former une suite indéfinie des nombres rationnels tels que la différence de deux conséeutifs soit moindre que €. Nous supposons ici acquises les propriétés des nombres rationnels qui se démontrent en arithmétique.

Au point de vue purement abstrait, l’idée de nombre ne parait pas comporter une plus grande extention. Ainsi, la recherche d’un nombre dont le carré soit égal à 2, après qu’il a été prouvé qu’aucun nombre entier ou fractionnaire ne peut vérifier cette condition, n’aurait par ellemême aucun objet; le symbole /2 représente une chose qui n’existe pas. Mais la mesure des grandeurs concrètes nous entraine à élargir encore la conception des êtres numériques. Par exemple, la géométrie fait voir que la comparaison de deux droites bien définies, la diagonale du carré

RS à NE

et son côté, se ramène précisément à trouver un nombre qui ait 2 pour carré. Cet exemple et une foule d’autres prouvent que, sous peine de ne pouvoir représenter par des nombres les rapports d’une infinité de grandeurs concrètes à l’unité de leur espèce, il faut donner au mot nombre un sens plus général. |

41. Formons une suite indéfinie de nombres rationnels dont chacun surpasse ou égale le précédent,

(1) A LG Lys. An, et une autre semblable composée de nombres décroissants (ID) b>b>b:;... > 0, .….,

satisfaisant à ces deux conditions : 4° Un nombre quelconque de la série

(1) est toujours plus petit qu’on nombre quelconque de la série (I), soit an € 0p; :

2 Étant donnée une fraction € aussi petite qu’on le veut, on peut

assigner une valeur »’ de n telle que, pour toute valeur de » supérieure

à n', on aura constamment b, — a, < &.

Je dis que la double suite

De Un PU Ur cm ere

définit absolument un certain nombre q par la propriété d’être toujours compris entre a, et b,, quelque grand que soit n, soit que q puisse s'exprimer par un nombre rationnel, soit qu’il ne le puisse pas, et dans ce dernier cas q sera dit un nombre irrationnel ou incommensurable. Pour prouver cela, nous montrerons d’abord que ce nombre q occupe une place bien déterminée dans la série des grandeurs numériques; en d’autres termes que tout nombre rationnel donné s sera toujours, ou plus grand que g, ou plus petit que q, ou égal à q.

Or, si l’on compare le nombre donné s aux nombres des deux suites (1) et (ID), trois cas seulement sont possibles :

4° Ou bien, pour une valeur suffisamment grande k de n, on aura -ax > 8, ct a fortiori, d'après l'hypothèse,

ayyut DS, dyyo DS, is (RO, Loc Se PO LAS De D et EE PES

Tous les nombres successifs des deux suites à partir d’un certain rang surpasseront $ d’une quantité qui ne sera jamais inférieure à un nombre déterminé a; —s, etle nombre q, étant défini par la condition d’être