PLAN TANGENT A UNE SURFACE COURBE. SURFACES ENVELOPPES

237. Lorsqu'on rapporte une surface à un système d’axes coordonnés OX, OY, OZ, l’ordonnée z de la surface est une fonction

des coordonnées horizontales x, y. Soit M (x, y, z) un point pris sur la surface; par ce point, faisons passer une courbe quelconque (C) tracée sur la surface. Sa tangente en M aura pour équations (226)

EE ms ==

dx, dy, dz étant les différenticlles des coordonnées de la courbe (C). Celle-ci étant tracée sur la surface, ses coordonnées doivent vérifier l'équation z — f(x, y) de la surface, et leurs différentielles dx, dy, dz doivent satisfaire à l’équation

dz = pdx +- qdy, p, q désignant les dérivées partielles de f par rapport à x et à y. Si, dans cette équation, on remplace dx, dy, dz par les facteurs Ë — x, n —y, 6 — z qui leur sont proportionnels dans les équations de la tangente, on obtient l’équation (2) Gr np. (QE) AT)

entre les coordonnées Ë, n, 6, d’un point quelconque de la tangente en M

à une courbe quelconque (C) sur la surface. C’est donc l'équation de lieu de ces tangentes, et comme clle est du premier degré en 6, n, G, le lieu des tangentes menées en un point M d’une surface, à toutes les courbes que l’on peut tracer sur celle-ci par ce point, est un plan, qu’on appelle le plan tangent à la surface en ce point. Il est représenté par l'équation (2).

Si l'équation de la surface est donnée sous la forme

les dx, dy, dz d’une courbe tracée sur la surface vérifieront l'égalité OF OF OF Tr Pr ler x RE o x ie %

et en opérant comme plus haut on trouvera

0F 0F dF (4) Er rm Er AA

pour l’équation du plan tangent au point (x, y, z).

Cette théorie repose sur la propriété qu'ont les différcutielles dx, dy, dz d’une courbe quelconque (C) tracée sur la surface, de satisfaire à une relation homogène du premier degré, dont les coefficients (p, q, — 1) dans le premier cas, ou (D,F, D,F, D.F) dans Île second, sont déterminés et indépendants de la détermination particulière de la courbe. Cette propriété suppose l'existence des dérivées partielles p et q, et cessera d’être vraie en certains points de la surface si p et q cessent d’être déterminés; par exemple, lorsque D,F, D,F, D.F s’évanouissent simultanément en ces points. Dans ce cas, si l’on différentie une seconde fois l'équation (3), en observant que les coefficients de d?x, d?y, d?z sont nuls au point considéré, et si l’on remplace encore dx, dy, dz par les facteurs proportionnels £ — x, etc.., tirés des équations de la tangente à la courbe (C), on aura pour le lieu des tangentes à la surface au point considéré

OF OF d?F 0?F a Ti — N— vie cn AT ht LS 22 — En OO SE

OF | o?

Cette équation représente un cône du second degré qui a son sommet au point (x, y, Z).

238. La normale à une surface au point M est la perpendiculaire au plan tangent en M, élevée par ce point. Les axes OX, OY, OZ étant supposés rectangulaires, et À, x, v désignant les angles directeurs de la normale par rapport à ces axes, on sait que les équations de la normale sont

D’autre part, l’équation du plan tangent étant sous la forme (2), les cosinus directeurs de la perpendiculaire à ce plan satisfont aux relations

connues

cos À cos COS y I (5) —___ — Eu en à P GT fe PERTE

done, les équations de la normale seront Fe Lo EE do P q ue

ct ses cosinus directeurs seront donnés par les équations (5). Si l'équation de la surface est sous la forme (3), on aura de même, par l'équation (4) du plan tangent,

cos À cos D Cosy