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et les équations de la normale prendront la forme
PAM Le double signe dont sont affectées les cosinus directeurs de la normale se rapporte aux deux directions opposées que l’on peut considérer sur cette droite à partir du point M. Généralement, la surface sépare dans l’espace deux régions, l’une extérieure dans laquelle F (x, y, z) est positif, l’autre intérieure dans laquelle F (x, y, z) est négatif. Le signe supérieur,
dans les formules (5) et (7), se rapporte à la normale menée vers la région extérieure.
239. Si la surface est de révolution, par chaque point M passent un méridien AMB (fig. 56) et un parallèle CMD qui a son centre O sur l’axe de révolution AN. Le plan tangent en M est déterminé par la tangente au méridien et par la tangente MT au parallèle; celle-ci étant perpendiculaire au rayon OM et à l’axe AN, l’est au plan du méridien AMB. Le plan tangent en M est donc perpendiculaire au plan du méridien ; {a normale en M se trouve dans le plan méridien et va couper l'axe de révolution en un point N. Cette normale MN se confond évidemment avec la normale à la courbe méridienne AMB. Faisons tourner autour de l’axe AN le méridien AMB qui va engendrer la surface, et sa normale MN. Le point M décrira le parallèle CMD, Dans une quelconque des positions de la figure mobile, la droite MN ne cessera pas d’être normale au méridien mobile, et par suite, normale à la surface. Le point N restant fixe dans cette rotation, on en conclut que les normales à la surface de révolution, menées aux différents points d'un même parallèle, coupent l'axe de révolution en un même point et sont
Fig. 36,
également inclinées sur cet axe.
240. Surfaces réglées. — On appelle ainsi toute surface engendrée par une droite ou génératrice D, qui s’appuie constamment sur une courbe ou directrice fixe, la direction de la génératrice étant déterminée par le point P où elle rencontre cette courbe. Les cônes, les cylindres, l’hyperboloïde à une nappe sont des surfaces réglées.
Si (a, b, c) sont les coordonnées du point P; X, Y,Z les cosinus 1 directeurs de la génératrice correspondante D, « la distance du point P à un point quelconque M (x, y, z) de cette génératrice, compte positivement dans le sens (x, y, Z), négativement en sens contraire les équations (S)x—=a+Xu, y—b+Yu,
z—=c Zu pourront être considérées comme représentant la surface : a, b,c, X, Y,Z scront des fonctions données d'une même variable, par exemple, l'arc s de la directrice, et x,y, z seront
Fig. 37,
donnés en fonction de deux variables indépendantes s et uw.
Soient D, Di (fig. 57) deux génératrices correspondant aux points infiniment voisins P (a, b,c) et Pi (a da, b +- db, c + dc). En leur appliquant les formules du N° 4159, ou aura
Xi=X<+dX, Yi—=Y<+dY, Z1—=2+1d2, (9) A—YdZ —ZdY, B—ZdX—XdZ, C— XdY — YaX, (10) AXE BY +LCZ—o, AdX + BdY + CdZ = 0, (11) BZ— CY —uxX, CX—AZ—dY, AY — BX — dZ, à cause des relations
X?EY?LZ— 1, XdX + YdY + ZdZ — 0,
Ensuite, on a (x) A? BE C? — dX? + dY? + d2?, d’où, o désignant l’angle infiniment petit des génératrices D et D,,
(12) sinpg—p—#y/dX?LdY?LdZ?, cosq—XX1+YYi + ZZi= 1.
On a ensuite
H — Ada + Bdb + Cdec, = +
et pour les cosinus directeurs de la perpendiculaire commune O0, d’après les formules (11) du N° #59 rappelé ci dessus,
— AH CHE BH suvQ CH (13) cos zX — : COS BY — —» COS m2 — —>.
T mp
2 mp?
Enfin, on trouvera p = Xda + Ydb+Zdc, p; = p + dadX + dbdY + dcdzZ,
d’où, pour la distance w’ du point P au point O, appelé point central de la génératrice D, |
dadX + dbdY + dcdZ RS TL
241. Ces résultats posés, déterminons le plan tangent en un point quelconque M de la génératrice D. Les équations (8) donnent (6) dx = da + udX + Xdu, dy = db + udY + Ydu,
À dz — de + udZ + Zdu,
en sorte que si À, , y désignent les angles directeurs de la normale en M, l'équation
(14) Ce
cos Adx + cos udy + cos vdz = 0
devra être vérifiée pour des valeurs arbitraires de ds et du, et se partagera en deux autres
bg X cos À + Y cos u + Z cos » — 0, ÿ (da wdX) cos À + (db + udY) cos (de + udZ) cos » = 0.
La première montre que la normale MN est perpendiculaire à la droite D; donc, dans toute surface réglée, le plan tangent en un point contient la génératrice qui passe par ce point. On a ensuite, en résolvant ces équations et ayant égard aux formules (9), (11), (12), (10),
cos À cos pe cos y Ydc— Zdb+ Au Zda—Kdc+Bu Xdb — Yda + Cu __ AcosÀ+Bcosu—+Cecosy cos AdX + cos dY + cos vdZ dadX + dbdY + dedZz + uç? DUT (Ada +- Bdb + Cdc)
D’après ces équations, en général, cos À, cos , cos » sont fonctions de «, le plan tangent varie donc d'un point à l’autre d’une méme génératrice, La surface est alors une surface gauche. Pour trouver la loi de cette variation, il suffit d’interpréter géométriquement la dernière équation. Pour cela, menons par le point P une parallèle D’ à D, ; le plan
DD’ a pour limite le plan asymptotique. Si, dans ce plan, on mène une perpendiculaire G à la génératrice D, on a, par un raisonnementsemblable à celui du N° 288, pour déterminer la direction PG,
(7) dX—=ocos GX, dY —œcos GY, dZ— cos GZ.
La dernière équation (16) devient, eu égard aux relations (13), (14),(17), et en désignant par Nz, NG les angles que fait la normale à la surface avec les directions O0’ et G,
mç* cos NG Le cos NG, Ha (6 ui) qu H ou (18) CNT UT cos NG &
En général, le rapport
m . Ada + Bdb— Cde
p ” dX'—+ dY!—+ d2?
aura une valeur finie et déterminée Æ pour chacune des génératrices D, ct l'équation (48) pourra s’écrire | cos Nz w'—u
cos NG k Au point central O, #’ —u —o, cos Na — 0, et comme évidemment la direction limite de O0’ est perpendiculaire au plan asymptotique, la normale à la surface sera dans ce plan. Donc, au point central, le plan
tangent est perpendiculaire au plan asymptotique. On a done cos NG — sin No, et l’équation précédente se réduira à
uw —u
ke
C’est le théorème de Chasles : La cotangente de l'inclinaison du point tangent en un point quelconque, sur le plan asymptotique, varie proporhionnellement à la distance du point de contact au point central. Cette inclinaison est de 90° au point central, elle devient nulle à l'infini sur la
cot Nx —
génératrice. Le signe de cos Nu change avec celui de u’ — u, ce qui montre que le plan tangent s'incline en sens contraire suivant que le point de contact s'éloigne du point central dans un sens ou dans l’autre,
242. Cherchons sous quelles conditions le plan tangent sera le même tout le long d’une même génératrice. Au point P, où w — 0, les équations (16) donnent
cos À COS kz. cos Xdb — Yda
Pour que ces valeurs conviennent à un point quelconque de la généra-
trice, d'après (16), il faut et il suffit que l’on ait
Yde—Zdb Zda—Xde Xdb — Yda” équations qui se réduisent, en vertu des relations (10), à Ada + Bdb + Cdc—o ou H—=o.
Or, on peut satisfaire à cette équation 1° en posant AË=30; NB,=—=0,mM0=0
d’où l’on tire, d’après l'égalité (x),
