EX

c’est-à-dire que la génératrice a une direction constante, la surface est une surface cylindrique. On sait qu’en effet une telle surface jouit de la propriété énoncée.

2° En général, l’équation H = o donne

la plus courte distance de deux génératrices infiniment voisines sera donc infiniment pelite par rapport à l'angle qu’elles forment entr'elles. La surface est appelée développable. Les équations (16)'donnent, dans ce cas,

COS À cos cosy EN EE ———— = ———— — — 9

la direction de la normale en un point quelconque de la génératrice D est parallèle à la direction limite O0’; donc, dans une surface développable, le plan tangent est le même tout lé long d’une génératrice et se confond avec le plan asymptotique.

243. Les surfaces développables jouissent de propriétés remarquables. Le lieu du point central O des génératrices D est, en général, sur la surface, une courbe appelée ligne de striction. Si x', y’, z! désignent les coordonnées d’un point de cette ligne, on a, en vertu des équations (f),

dx’ = da + u'dX + Xdu', dy'= db + u'dY + Ydu’, etc. et en multipliant par A, B, C, ajoutant et ayant égard à l’équation H — O et aux équations (10), (y) Adzx’ + Bdy’ + Cdz' = 0.

D'autre part, si l'on multiplie ces équations par dX, dY, dZ, et qu’on les ajoute en ayant égard aux équations (10) et (12), on trouvera dXdx' + dXdy' + dZdz' — dXda + dYdb + dZdc + u'4”,

ou, d’après la relation (14),

(9) dXdx' + dYdy’ + dZdz' = o. Des équations (7) et (9) on tire dx’ dy! dz’

BdZ — Cdv CEUX AZ DAGYIE RUXN Or, il résulte des équations

AXE BY CZ—0o, XdX + YdY + ZdZ— 0,

que X, Ÿ, Z sont respectivement proportionnels à ces mêmes binômes. Donc on a

équations qui montrent que la tangente à la ligne de striction, dont les cosinus directeurs sont proportionnels à dx’, dy’, dz’, se confond avec la génératrice D.

Ainsi, dans toute surface développable, les génératrices sont tangentes à une même courbe à double courbure, qui est le lieu du point central de ces génératrices, et qu'on nomme l’arête de rebroussement de la surface.

Une développable peut être considérée comme le lieu des tangentes à une courbe gauche, et le plan tangent à la surface le long d’une génératrice, ou le plan asymptotique, se confond avec le plan osculateur de l’arète de rebroussement (229).

244. Cherchons l'expression de la différentielle de de l'arc d’une courbe tracée sur la surface développable. Nous avons

do? — dx? + dy? + dz?, et en vertu des équations (G), si l’on observe que da? + db? + de? = ds°, XdX + YdY + ZdZ = 0, on a | do? — ds? + u°?@? + du? + 2u (da dX + db dY +- dc d?) + 2(X da + Y db + Z de) du.

D’après l'équation (14), si DT désigne l’angle de la génératrice D avec la tangente PT à la directrice, les deux derniers termes se réduisent à — auu'ç? + 2duds cos DT; on a donc

2 2 2 T— I 4 (ut — au) EE à Los DT.

Cette équation a lieu pour une surface réglée quelconque, mais dans les surfaces développables, on peut prendre pour directrice lParête de rebroussement ; on a w — 0, cos DT — 1, d’après le théorème ci-dessus; de plus, + : ds est précisément la courbure 1 : R de l’arête de rebroussement; il vient donc

do? AUNSPSETE ÿ Cia

Or, cette expression ne dépend que de la relation u—ot(s) qui définit la courbe tracée sur la surface, et du rayon de courbure R de l’arête; nullement de la torsion de celle-ci.

On dit qu’une surface È est applicable sur une autre surface 5’, lorsqu’on peut faire correspondre point par point ces deux surfaces, de telle manière que la longueur de l'arc entre deux points d’une courbe quelconque, tracée sur la surface à, soit égale à celle de l’are de la courbe correspondante entre les points correspondants sur la surface 2’. On conclut facilement de là que deux courbes données se coupent, sur À, sous le même angle que leurs correspondantes sur 2.

Cela posé, étant donnée une surface développable, le rayon de courbure R de l’arête de rebroussement de cette surface sera une fonction déterminée de l'arc s de cette arête. Concevons que l’on trace sur un plan une courbe (C) pour laquelle la relation entre le rayon de courbure R et l’arc s soit la même, ce qui est possible, comme on le démontrera plus tard. Traçons une seconde courbe en prenant sur la tangente à la première (C), à partir du point de contact, une longueur u — o (s). En vertu de l’équation (e), la différentielle de la fonction 5 de s qui mesure la longueur de l’arc de cette dernière courbe aura la même expression que la différentielle de l’arc de la courbe tracée sur la développable; les arcs correspondants seront donc égaux sur les deux courbes.

Toute surface développable est donc applicable sur un plan; c'est de là que le nom de développables a été donné à ces surfaces.

245. Surfaces enveloppes. — La théorie des surfaces. enveloppes est analogue à celle des courbes enveloppes (249). Une équation renfermant un paramètre variable «, |

représente un système de surfaces. Deux surfaces (S), (S'), correspondant à deux valeurs «x, « +h du paramètre, se coupent généralement suivant une courbe qui a pour limite une courbe déterminée, dite caractéristique, lorsque h tend vers zéro. Le lieu de ces caractéristiques est l'enveloppe des surfaces du système (A).

On obtient l’équation de l'enveloppe en éliminant « entre les équations

cela suppose que F désigne une fonction simple des variables x, y, z, «.

L’enveloppe est tangente à une enveloppée quelconque (S) tout le long de la caractéristique correspondante. En effet, nous pouvons considérer les équations (A) et (B) comme deux équations qui ont lieu entre les coordonnées x, y, z d’un point quelconque de l’enveloppe et une variable auxiliaire &. Nous tirons de l’équation (A), entre les différentielles totales de ces variables, la relation

OF JF 0F EPA RUE CE + dz + Mais comme, en chaque point de l'enveloppe, les variables x, y, z, «

satisfont à l'équation (B), le dernier terme est nul identiquement, et la relation devient

OF

dx — 0.

OF dx

Il en résulte, pour la différentielle totale dz, la même expression que l’on tirerait de l’équation de la surface (S), où « est une constante. Donc, les dérivées partielles. p et q de z par rapport à x et à y auront respectivement les mêmes valeurs sur la surface enveloppe et sur l’enveloppée, en tout point de la caractéristique qui répond à cette enveloppée. Le plan tangent sera donc le même pour les deux surfaces.

Quand la surface (S) est un plan, la caractéristique est une droite, l'enveloppe est donc une surface réglée dont la caractéristique est la génératrice. Elle est, de plus, développable, puisque, d’après le théorème précédent, le plan tangent à l’enveloppe est le même tout le long d’une génératrice. Réciproquement, toute dévelopyable peut être considérée comme l'enveloppe d'un plan variable, savoir, le plan osculateur de l’arête de rebroussement de la développable. En effet, deux plans osculateurs infiniment voisins ont pour limite de leur intersection la tangente à l’arête (280), et l’on sait que la surface développable n’est autre chose que le lieu des tangentes à son arête de rebroussement,