Trois enveloppées

Pr; y;2,a«)—0, 0F(r, y, 7, )—0, F(x,7, x, «)—0o qui répondent à des valeurs infiniment voisines &«, &,,&, du paramètre,

OF OF A NE a 0e dei

se coupent généralement en un ou plusieurs points qui vérifient ces trois équations, et qui, à la limite, comme on le voit en suivant le même raisonnement que pour le plan osculateur, satisferont aux équations

F(x,y,z,a)—=0, Fix, y,z,a)—o, Fé(x,y,2, a) — 0.

Le lieu de ces points est une courbe, dont on obtient l'équation en éliminant « entre ces trois équations. On l'appelle l’aréte de rebroussement de la surface enveloppe; elle est tangente à chacune des caractéristiques du système (A); cela se démontre par un raisonnement tout semblable à celui du n° 221.

247. Si l'équation des surfaces (S) renfermait deux paramètres variables « et B, liés entr’eux par une équation

F(x,y,2,«, 6)—o, p(a, É)—0, on verrait que la caractéristique est définie par ces équations et par l'équation

en sorte que l'élimination de +, 6 entre ces trois équations conduira à l'équation de l'enveloppe. On opérerait de même si l’on avait trois paramètres liés entr’eux par deux équations.

On considère une autre espèce de surfaces enveloppes. Soit (D) F (x, y, 7, «, B) —0, l'équation d’une surface variable renfermant deux paramètres arbitraires æ, 6. Si l’on suppose une relation arbitraire entre « et G, on reconnait en vertu des égalités (A) et (B), que l'intersection de la surface (D) par une surface infiniment voisine, prise à la limite, doit satisfaire à l'équation (D) et à celle-ci :

, d Fa (x, y, z, x, P)+Fe (x, y, 2, à, Bo.

Elle dépendra done, par le rapport dB : da, de la relation arbitraire que l’on a établie entre G et «. Mais il y a un point (ou plusieurs) qui appartient à cette intersection limite indépendamment de la relation entre « et B; c’est celui qui vérifie l'équation (D) et les équations

A CARTES A CEE Fox, 125, 4, 0)=0,

Le lieu de ces points où une surface du système (D) est coupée par toutes les surfaces infiniment voisines, se nomme encore l'enveloppe des surfaces renfermées dans l'équation (D). L'équation de cette enveloppe résulte donc de l'élimination de x et GB entre les équations