CHAPITRE XXIIL

THÉORIE DES COURBES A DOUBLE COURBURE (suife), — SURFACE POLAIRE, SPHÈRE OSCULATRICE, DÉVELOPPÉES,

248. La droite polaire, en un point M (x, y, z) d’une courbe gauche, est la limite de l'intersection du plan normal en ce point avec le plan normal en un point infiniment voisin M’. Soient ?, t + At les valeurs de t qui répondent aux points M, M’; les équations des plans normaux seront N — 0, N + AN — 0, et leur intersection vérifiera les équations N — 0, AN — 0; sa limite, les équations

N—0o, dN—0, ou, en développant les calculs (1) (E — x) de + (n — y) dy + (6 — 2) da — 0,

(2) (E — x) dx + (n — y) dy H(E — 7) d'z — ds? = 0, à cause de la relation dx? dy? + dz? = ds’. La droite polaire est normale au plan osculateur en M, car l'intersection des deux plans normaux infiniment voisins est perpendiculaire à la fois aux tangentes MT, MT’, ou au plan TMT, (229), qui a pour limite le plan osculateur

en M. Elle passe par le centre de courbure Z qui a pour coordonnées ZX +R, y—y+#+uR, z1—2—+7YR (284).

En effet, si l’on remplace Ë, n, € par ces valeurs dans l'équation (1), on a l'équation identique |

Adx + udy + vdz = 0.

-… Dans l'équation (2), si l’on prend t = 8 pour variable indépendante,

on peut écrire l’équation |

(E — x) da + (n — y) di + (6 — z) dy — ds — 0, et la substitution Ë — x, etc... donne R (Ada + pdB + vd) — ds — 0 ou, en ayant égard aux relations (9) du N° 281, L+u? Lu — 1 — rie ce qui est encore une identité.

La droite polaire coïncide donc avec la normale au plan osculateur élevée par le centre de courbure. D'après cela, ses équations peuvent s'écrire | |

X, Y,Z désignant toujours les cosinus directeurs de la normale au plan osculateur. |

249. On appelle surface polaire de la courbe le lieu de la droite polaire relative à chacun des points de cette courbe. Son équation s’obtiendra en éliminant x, y, z entre les deux équations de la courbe et les équations (r) et (2). Cette surface peut être considérée, d’après cela, comme l’enveloppe des plans normaux à la courbe, et la droite polaire est sa caractéristique (245).

Mais la surface polaire est donc une surface réglée, et même développable puisqu'elle est l'enveloppe d’un plan mobile. Son plan tangent le long d’une génératrice D n’est autre que le plan normal à la courbe donnée, au point pour lequel D est la droite polaire.

L’arête de rebroussement de cette surface polaire est le lieu du point central O(x’, y’, z') d'une génératrice quelconque D (248). Si on la considère comme l’enveloppe des caractéristiques D, comme au N° 246, on obtiendra ses équations en éliminant le paramètre { entre l’équation du plan normal et les deux équations qu’on obtient en la différentiant par rapport à &. On aura ainsi

(x — x) dx + (y! — y) dy + (z' — x) dz — 0,

(4) (a — x) dx + (y — y) dy + (7! — 2) d?z — ds? — 0, | (@"— x) dx + (y! — y) dy + (z' — 2) d5z — 3dsd?s = 0,

en ayant égard, dans la dernière, à la relation dxd'x + dyd?y + drd?z = dsd?s.

Eliminant x,y,z,t entre ces trois équations et les équations de la courbe, on aura, entre x’, y’, z/, deux équations qui seront celles de l’arête cherchée.

On a vu aussi que le plan tangent à la développable, c’est-à-dire le plan normal en M à la courbe donnée, se confond avec le plan osculateur de son arête de rebroussement au point O.

L’angle de deux plans normaux infiniment voisins, en M et en M’, ou l’angle de deux tangentesinfiniment voisines MT,M'T'(fig.58), est donc égal à l’angle des deux plans osculateurs de la courbe 00’; et de même, les tangentes OZ, O’Z’ à l’arête de rebroussement Fig. 8. étant respectivement normales aux plans osculateurs en M et en M’, l'angle qu’elles comprennent est égal à celui de ces deux plans, De là ces

propriétés :

1° L’angle de contingence d’une courbe gauche, en un point M, est égal à l'angle de torsion de l’arête dè rebroussement de la surface polaire de celte courbe au point correspondant O ; 2° l'angle de contingence de l’arète est égal à l'angle de torsion de la courbe.

On voit aussi que les normales principales à la courbe et à l’arête sont parallèles entr’elles.

On peut mettre sous une autre forme l'équation de la surface polaire, en employant le mode de représentation adopté au N° 240, pour les surfaces réglées. D’après les propriétés de la droite polaire, signalées au N° précédent, les équations de cette droite peuvent évidemment s’écrire

x—=% EXu, y—=Yy Yu, 2z—= 7 + Zu,

u désignant la distance du point (x, y, z) au centre de courbure. Au point O,onaura

DT MU US TU URETIE et w” sera donné, d’après la formule (14) du N° 240, par l'équation

dedX + dydY + dzdZ [dx dX , dy dY |, dzsdZ\., Fa ç men craie

T étant le rayon de torsion de la courbe donnée, car l’angle © de deux génératrices consécutives de la surface polaire est égal, d’après la remarque ci-dessus, à l’angle de torsion ds: T de la courbe donnée. Mais les formules (17) du N° 286 permettent d'écrire encore

HU d dzi ue (1% À — me + y TE =) LT:

D'autre part, les équations m2 +AR, Y=y+UR 7 —=27+7R différentiées, multipliées respectivement par À, p, y et ajoutées, donnent,

à cause des équations

Adx + udy + vdz = 0, Ad + udu + vdy = 0,

cee-ci Ada + udy, + vdz, — dR, donc dR (5) (TM = Le 2

et ainsi, pour déterminer le point O, on a dR dR (6) mat ExT À, J=YyHUR ET, z'=2+VYR ZT 1

Si l'on élimine x, y, z, t entre ces trois équations ct les équations de la courbe donnée, on a entre x’, y’, z’ deux équations qui sont celles de l'arête de rebroussement de la surface polaire.

250. Par le point M, et par trois autres points M’, M”, M’”’ de la courbe, qui se rapprochent indéfiniment du point M, on peut faire passer une sphère : la limite de cette sphère se nomme la sphère osculatrice en M.

Par démontrer que cette sphère limite existe et calculer son rayon r el les coordonnées x’, y’, z' de son centre, soient #, li, t:, ts les valeurs de lauxiliaire t qui déterminent les points M, M’, M”, M’”. L'équation de la sphère passant par ces quatre points étant mise sous la forme

E— 2H ny P HE — 2) 7 = 0, désignons par (t) ce que devient le premier membre de cette équation lorsqu'on y remplace Ë, n, 6 respectivement par f{(t), fi(t), fa(t). 11 est clair que les équations exprimant que la sphère passe par les points M, M',M”,M/”’, seront

p(t)— 0, pih)—0o, pls)—0o, p(t:)—0,

et l’on en déduit pour la sphère limite, par le raisonnement souvent employé (229), les relations

c’est-à-dire, à cause des équations dx

(er Ty = y) EE),

() (x — x’) dx + (y — y’) dy + (z — 2’) dz — 0, en y") dy + (z — 3!) d?z + ds? — 0, (a == 2°) dx + (y — y!) dôy + (x — 2°) dx + 3dsd?s — 0.

Les trois dernières sont évidemment les mêmes que les équations (4), donc le centre de la sphère osculatrice, pour un point M, est au point O où la droite polaire correspondante touche l’arête de rebroussement de la surface polaire.

Le rayon r de la sphère osculatrice est l'hypoténuse OM d’un triangle rectangle dont les côtés sont le rayon de courbure MZ — R et la distance ZO — u’ du centre de courbure au point central O de la droite polaire.

On à donc, d’après la formule (5),

de ds 2

Le cercle osculateur d’une courbe gauche en un point M est la limite du cercle passant par ce point et par deux autres M’, M’’, infiniment voisins de M. Il suit évidemment de là qu’il est dans le plan osculateur en M (228), ct sur la sphère osculatrice : il coïncide done avec la section de cette sphère par ce plan. Son centre est done au point Z, projection du centre O de la sphère osculatrice sur le plan oseulateur, ct son rayon est MZ. Le cercle osculateur ne diffère pas du cercle de courbure.

252. Le lieu de la normale principale à une courbe gauche est une surface réglée, mais non développable. En effet, si les normales MZ, M’7’. …. étaient tangentes à une même courbe SS’....., le plan osculateur de cctte courbe au point S où elle est touchée par MZ serait le plan tangent à la développable le long de cette génératriee MZ; il contiendrait les droites MZ, MT et se confondrait avec le plan osculateur de la courbe donnée en M. Celle-ci et la courbe SS'...,, ayant mêmes plans osculateurs