TOR

aux points correspondants, auraient aussi même tangente (280), MT se confondrait avec MZ, ce qui est absurde.

Il n’y a d'exception que pour le cas où la courbe étant plane, le plan osculateur en un point quelconque se confond avec le plan de la courbe, et la tangente n’est plus déterminée par la limite de l'intersection des plans osculateurs infiniment voisins.

Toutefois, les courbes gauches admettent aussi des développées, jouissant de propriétés analogues à celles des courbes planes. On nomme développée d’une courbe gauche toute courbe dont les tangentes vont rencontrer normalementla courbe donnée.

D'après cela, soient tou-

Fig. 89, jours (x, y, z) les coordonnées d’un point M de la courbe; (6, n, €) celles du point correspondant N (fig. 59) de la développée, o l’arc de cette courbe compté positivement dans le sens MN, p cette distance MN. Les conditions du problème sont exprimées par les équations

(9) RE FH ee

do p

(10) LE — 2) de + (1 — y) dy + (G — 2) de — 0. Mais en différentiant l'équation Eau) + += et ayant égard à l’équation (10), on a (Ë— 2x) dé + (n— y) dn + — 2) dé = pdp,

d’où, remplaçant dé, .… par leurs valeurs (9),

LE += y + ET = ps ou do = dp.

On conelut de là, comme nous l'avons fait pour les courbes planes (249), que la longueur d'un arc quelconque de la développée est égale à la différence des longueurs des normales à la courbe, tungentes aux extré-

mités de cet arc. Si donc on plie un fil flexible sur la développée et qu’on le détache tangentiellement pour le terminer en M à la courbe, cette extrémité M décrira la courbe lorsqu'on développera le fil en le tenant constamment tendu, |

Remarquons encore que l’équation (10), différentiée, donne (11) (E—— x) dx + (n — y) dy + (6 — z) d'z — ds? — 0, car dé dx + dn dy + dé dz est nul, la tangente MT à la courbe et la tangente MN à sa développée se coupant à angle droit. Mais les équations (10) et (11) sont celles de la droite polaire au point M (248), donc le point N où la normale MN à la courbe louche une développée de celle-ci est sur la droite polaire correspondant au point M. T'outes les développées d’une courbe gauche sont donc tracées sur sa surface polaire.

Enfin, le plan oseulateur de la développée NN’... au point N n’est autre que le plan tangent à la développable, lieu des tangentes à cette courbe ou des normales MN, M’N’, ... à la courbe donnée. Ce plan tangent contient la tangente MT à la courbe, TMN est donc le plan osculateur cherché. Le plan osculateur en un point N d’une développée est donc perpendiculaire au plan normal à la courbe donnée, ou au plan tangent à la surface polaire en N. Il s'ensuit que la normale principale de la développée en N est parallèle à la tangente MT.

252. Toute développée de la courbe MM’M” …. jouit d'une propriété qui achève d'établir l'existence de ces courbes. Appelons 8 l’angle NMZ (fig. 59) entre la normale principale MZ et la tangente MN à la développée. Cet angle étant le complément de celui que fait la direction MN avec Ja droite polaire ZO, on a (12) psin0=(Ë—x)X+(n—y)Y+(C—2)2, d’où, différentiant et observant que Xdx + Ydy Zdz = 0, on a

sin 0dp HE pcos 0d0 — (6 — x) dX + (n—y)dY + (E— 2z)dZ+XdE + Ydn+-Zdé.

Mais on tire des équations (9), (12) et de l’équation do — dp,

XdE+ Ydn + Zd6= sin 0dp, d’où | p cos Ed0 — (£ — x) dX + (n — y) dY + (C— 2) dz. Remplaçons dX, dY, dZ par leurs valeurs (286), et observons que

E—x)1+(n—y)u+(—z2)r—=p cos 06,

nous trouverons enfin

ds (13) do — — T'

L'angle que fait la tangente à la développée avec la normale principale varie, d'un point de la courbe au point infiniment voisin d'une quantité égale à l'angle de torsion de la courbe.

Concevons donc que, du centre d’une sphère de rayon égal à l’unité, on mène des rayons parallèles aux droites polaires successives ZO, Z'0',.. Leurs extrémités traceront sur la sphère une courbe dont l’arce infiniment petit dr mesurera l'angle de deux droites polaires consécutives et sera, par suite, égal à l’angle de torsion de la courbe donnée. On aura donc

D = — — d0, et par suite 7 —C—0,C désignant une constante arbitrairement choisie (94).

D'autre part, la portion NZ de la droite polaire entre la développée et

le centre de courbure, est égale à R tg 0, donc É—m—RXtg0, n—y; —RYtg0, € — 71 —RZtg, et l’on a pour les coordonnées d’un point quelconque de la développée

S—=x+RA+Xitg(C—7)], (4 n=y+RIUHY IE (C— 7), GC—2z<+HR(r + Zig(C—7)].

Si l’on a exprimé, en fonction de la variable indépendante t, les quantités x, y, z, R, À, 1, v, X, Y,Z,T qui entrent dans ces équations, on aura aussi 6, n, 6 en fonction de cette variable t, et ces équations seront celles d’une développée quelconque. À chaque valeur de la constante C répond une développée particulière. Il y en a done une infinité.

258. L’équation (13) peut se mettre sous une autre forme. L’angle de la tangente MN à la développée avec la droite polaire ZO, est le complément de 0. On a donc

ds” : R’ désignant l’angle de contingence de l’arête de rebroussement (249). Supposons que l’on développe la surface polaire sur un plan: l’arête de rebroussement se transforme en une courbe plane AB dans laquelle la longueur de l'arc s’ et le rayon de courbure R’ ne subissent

aucun changement; les angles x restent aussi les mêmes, d’après une propriété remarquée au N° 244. Si donc nous désignons par ®’ l’inclinaison de la tangente à la transformée plane de l’arête de rebroussement sur une tangente déterminée OZ (fig. 40), l'angle de contingence do = ds’: R’ de cette transformée restera égal à du, et l’on aura

du —dg, = +A,

À désignant une quantité constante.

Mais m — ©’ représente l'angle « que fait la tangente à la transformée plane de la développée NN’N’/’... avec la mème droite fixe ZO. On a done + — A, c’est-à-dire que les tangentes à la transformée de la développée sont toutes également inclinées sur une droite OZ, propriété qui n'appartient qu’à une ligne droite. Les développées d’une courbe gauche jouissent donc de lu propriété de se transformer toutes en lignes droites, lorsqu'on développe la surface polaire sur un plan. On voit facilement que toutes ces droites vont passer par un même point du plan.

De plus, comme le développement n’altère pas la longueur des courbes tracées sur la surface, les développées sont les lignes les plus courtes qu'on puisse tracer entre deux quelconques de leurs points sur la surface polaire, car cette propriété appartient aux droites qui sont leurs transfor-

Fig. 40.

mées planes.

Dans une courbe plane, Ie plan osculateur se confond partout avec le plan de la courbe; la surface polaire est une surface cylindrique dont les génératrices sont normales au plan de la courbe; sa trace sur ce plan coïncide avec le lieu des centres de courbure de la courbe. L’angle de torsion est nul, d8 est done nul aussi, et l'angle 0 que fait la tangente à une développée donnée avec le rayon de courbure est constant. Les développées coupent les génératrices du cylindre sous un angle constant, ce sont des hélices.

Parmi ces développées, une seule est plane, elle correspond 10 0: C’est le lieu des centres de courbure ou la développée ordinaire des courbes planes.

Dans une courbe sphérique, tous les plans normaux passent par le centre de la sphère; la surface polaire est une surface conique dont le sommet est au centre de la sphère,

254. Contact des courbes qauches. — Deux courbes (A) et (B) ayant un point commun M, si l’on mène à une distance infiniment petite du point M un plan qui coupe ces courbes respectivement en M’ et p, et si la distance M’ u’ est de l’ordre n — 1 par rapport à l’arc MM’, ont dit que les deux courbes ont, au point M, un contact de l’ordre n. Cet ordre sera d’ailleurs indépendant de la direction du plan sécant, pourvu qu’il ne soit pas parallèle à la tangente en M à l’une des courbes (A), (B).

On le prouverait en décrivant de M comme centre une sphère de rayon MM’ et raisonnant comme au N° 245.

Supposons le plan sécant parallèle à XY. L’arce MM’ étant de même ordre que l'accroissement de z quand on passe du point M au point M’, et la distance M’ y’ étant, en général, de même ordre que ses projections sur les plans XZ, YZ, on conclut de ce qui précède que si les courbes (A) et (B) ont un contact de l’ordre n au point M, leurs projections respecüves sur les plans XZ, YZ auront un contact de même ordre. Les dérivées

do li d'x dy d'y d'y

—— 9 — y 9 , pnoAne 7 dz dz? dz"? dz dz? dz"

auront respectivement les mêmes valeurs dans les deux courbes, au point considéré.

Si les équations de la courbe (B) renferment un certain nombre de paramètres arbitraires, on les déterminera par la condition que la courbe (B) ait avec la courbe donnée (A), au point M, un contact de l’ordre le plus élevé possible : on aura la courbe osculatrice de l'espèce (B).

En cherchant la droite osculatrice et le cercle osculateur en un point donné d’une courbe donnée (A), on retrouvera la tangente et le cercle de courbure.

255. Contact des courbes et des surfaces. — Une courbe (A) et une surface (S) qui ont un point commun M ont en ce point un contact de l'ordre n si, prenant sur la courbe un arc infiniment petit MM’ et abaissant du point M’ une normale M'M/’ à la surface (S), on trouve cette distance MM’ de l’ordre # + 1 par rapport à MM’. On conclut de là que la différence des ordonnées z de la courbe et de la surface, qui répondent à un même accroissement A{ de la variable indépendante à partir du point M, sera aussi de l’ordre n 1 par rapport à Af, pourvu que Ia direction de ces ordonnées ne soit parallèle, ni à la tangente à la courbe

(A), ni au plan tangent à la surface (S), au point M. On développera cette différence des ordonnées par la formule de Taylor suivant les puissances ascendantes de At, et l’on obtiendra les conditions analytiques du contact de l’ordre ». Ces conditions pourront servir à déterminer les paramètres arbitraires de l'équation d’une surface (S) de manière que celle-ci ait, avec une courbe donnée en un point donné, un contact d'ordre aussi élevé que possible.

Si la surface (S) est un plan, on retrouve le plan osculateur; si c’est une sphère, on retrouve la sphère osculatrice.

256. Contact de deux surfaces. — Deux surfaces (S) et (2) qui ont un point commun M ont, en ce point, un contact de l'ordre n, si, à une distance infiniment petite MM’ du point M sur la surface (S), la distance M'M’' des deux surfaces, mesurée normalement à l’une d’elles, est de l’ordre n + 1 par rapport à MM’. Si l’axe des z n’est pas parallèle au plan tangent à l’une des surfaces en M, la différence des ordonnées de (S) et de (2) parallèles à cet axe, dans le voisinage du point M, sera aussi de l’ordre n + 1 par rapport aux accroissements infiniment petits k et k de x et de y, considérés comme du premier ordre.

D’après cela, si l’on développe par la série de Taylor (455) la différence des ordonnées parallèles à l’axe des z, des surfaces (S) et (2), suivant les puissances de À et de k, on voit immédiatement que la condition ci-dessus revient à celle-ci: il faut et il suffit que les dérivées partielles de z par rapport à x et à y jusqu’à l’ordre n inelusivement,

Oz Oz d?z ‘dz 0?z 0"Zz d"Zz 0x?” Ox0y Op LA dy" ”

or} ®|

conservent la même valeur, au point M, quand on passe de la surface (S) à la surface (>).

Si l’équation de la surface (2) renferme des paramètres indéterminés, et que l’on détermine ces paramètres en assujettissant la surface (2) à avoir, au point M, un contact d'ordre aussi élevé que possible avec (S), on trouvera la surface (Z) osculatrice de (S).

Ainsi, l'équation du plan renfermant trois paramètres distinets, la condition d’un contact du premier ordre avec une surface (S) suflira pour les déterminer. On retrouve le plan tangent à la surface (S).

L'équation d’une surface du second ordre renferme neuf paramètres ;

on peut lui donner un contact du second ordre, et il restera trois arbi-

traires dont on pourra disposer de manière à satisfaire à d’autres conditions.

(Voir, pour de plus amples développements, HermiTe, Cours d'analyse, pp. 116 et suiv. — Jorpan, Cours d'analyse, t. I, pp. 216 et suiv.)

Exercices.

4. Hélice (Ch. XXI, ex. 1). — Les équations de la droite polaire pour le point (+, y, z) sont ( Ey—nx+b(—z)=0, l Ex + ny + b — 0.

Le point où cette droite touche l’arête de rebroussement de la surface polaire satisfait à ces équations et à Ëy — nt — 0, d’où ë — z— 0. Ce point coïncide avec le centre de courbure; l’arête de rebroussement de la surface polaire coïncide donc avec l’hélice, lieu des centres de courbure, et la surface polaire est l'hélicoïde développable, lieu des tangentes à cette hélice. Le rayon de la sphère oseulatrice est égal au rayon de courbure. Pour trouver les équations d’une développée, on observe que l’on a

a? + b* ds bdt ds=dtV a+, T— TES"

| b Va? + b3 d’où bt Tes a +0?

D'ailleurs on a 2 1 p2 RE Ne u——?, Y 0, a a a b b a PERS AA | ARR LR TE Z = -———— , a V/a? + 0? aV/a? + b2 V' a? + b?

et en substituant ces valeurs dans les équations (14) et remplaçant x, y, z par leurs valeurs, on a pour les équations d’une développée

b? bV' a? + pb? bt+C RL re CA LGTEET cosltg UC :

* a Va? +?

b? b 21 p? bt 1 C n = — — 006 MAG eee. RUE R, F 2 Va? +7 PRE 2 bt + C = D VA ES g

2. Sur un rayon d’une sphère comme diamètre, on décrit un cercle que l’on prend pour base d’un cylindre droit. Trouver la courbe d’intersection du cylindre et de la sphère et lui appliquer les formules générales.

R. Le rayon de la sphère étant pris pour unité et son centre pour origine, l’axe des z parallèle à la génératrice du cylindre, l’axe des æ passant par le centre de sa base, soit « l’angle du plan passant par un point (+, y, z) de la courbe et par l'axe des z avec le plan YZ.Ona |

x = sine, Y— Sin COS&, 2—COS «.

Tangente et plan normal :

Se RO RE

- - y E SIN 20 —- n COS 20 — Ë sin w.

Sin 2œ COS 20 — SIn «

Différentielle de l'arc : ds — du V/ 1 +- sine. Plan oseculateur :

Ë COS & (1 —- 2 Sin?) — 2 sin?o + 25 — cos w (2 +- sin).

Rayons de courbure et de torsion :

(1 + sin?w)°? r 5 + 3 sin?

Æ UT rimes

Vars | Gvns Équations de la droite polaire :

Ë sin 20 —- 4 COS 20 — é sine, Ë COS 20 — n sin 20 — EE COS w.

Équation de la surface polaire :

4 2 4 (EH n°) — 85 — 355 15 — 0.

æ. Démontrer la relation (ch. XXI, ex. #) r? LT?