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indéfiniment compris entre a, et b,, ne peut être qualifié autrement que plus grand ques; © 2° Ou bien, à partir d’une certaine valeur k de n, on aura constamment b, 5 et a fortiori a, < 5, et l’on prouvera de la même manière que la double suite (1) et (II) définit un nombre q plus petit ques; 3° Ou enfin, il pourra se faire que, quelque grand que soit n#, on ait toujours Un e CL Or es Ss en sorte que s restera tndéfiniment compris entre a, et b,. Dans ce cas, les différences S — Any Ün — 58,

étant plus petites que b, — a,, finiront par rester constamment moindres que toute fraction donnée, et s sera le nombre q défini par la double suite : celle-ci définira un nombre rationnel.

Ce nombre s est en effet le seul qui jouisse de cette propriété, car si s” tait un autre nombre rationnel, plus grand, par exemple, que s, et qui serait supposé rester compris entre a, et b, quelque grand que soit n, la différence s’ — s — d aurait une valeur déterminée. On aurait toujours

Un SES SO et par conséquent la différence b, — a,, étant toujours plus grande que d ne pourrait pas décroiître au-dessous de toute fraction donnée € quand n croit indéfinement, ce qui est contre l’hypothèse.

42. Montrons ensuite que le nombre q défini par les suites (1) et (Il) peut, aussi bien qu’un nombre rationnel, mesurer des grandeurs concrêtes, et prenons comme type simple des segments comptés sur une même droite.

Sur une droite O0’ portons, à partir du point O dans le sens OU’, des longueurs OA;,0A:,...

OA, ….s OB:, OBz:, .…, OB,,... respectivement

mesurées par les nom-

Fig, hs

bres &@1, @, ..., Gn5 Di, br, …, bn, . Le nombre n croissant indéfiniment, le point À, s'éloigne constamment du point O, le point B, s’en rapproche constamment et la distance A,B,, sans pouvoir devenir nulle, finit par rester con stamment plus petite qu'une longueur donnée quelconque. L'espace