CHAPITRE XXIV

COURBURE DES SECTIONS PLANES DANS UNE SURFACE; SECTIONS PRINCIPALES, OMBILICS, TANGENTES CONJUGUÉES.

25%. L'un des moyens les plus simples d'étudier la courbure d’une surface autour d'un de ses points M consiste à couper la surface par différents plans menés par ce point M, et à déterminer la courbure des sections ainsi obtenues, surtout des sections normales, dont le plan passe par la normale à la surface en M.

Supposons d'abord que l’on trace sur Îa surface une courbe quelconque (C) (fig. 41) passant par M, et soient à, 6, y les angles directeurs de sa tangente MT ; x, y, z les coordonnées du point M ;

dz Oz 0?z 0?z d?z ET ner DE = Grôy Gys les dérivées partielles de z en ce point. Nous supposons qu'elles aient des valeurs finies et déterminées. Les cosinus directeurs X, Y, Z de la normale à la surface en M sont donnés (238) par les formules XL Z I I

(:) mn = Se RS

Fig. 41.

en déterminant le signe du radical de manière que ces cosinus se rapportent à la portion MN de la normale qui fait un angle aigu avec l'axe des z positifs ; £ représente le radical.

La courbe (C) appartenant à la surface, les différentielles dx, dy, dz de ses coordonnées satisfont à la relation

(2) dz = pdx + gdy, et comme dx, dy, dz sont proportionnels à cos «, cos f, cos y, on a aussi (3) cos y — p cos & + q cos É.

Substituant cette valeur de cos y dans l'équation

cos? à + cos? Ê + cos? y — 1,

on obtient celle-ci :

(4) (1 + p?) cos'a + 2pq cos à cos 5 + (1 + q?) cos6 — 1, à laquelle satisferont les cosinus directeurs d’une tangente quelconque à la surface au point (x, y, 2).

Menons la normale principale MZ de la courbe (C) au point M: elle sera dans le plan osculateur de la courbe et dans le plan normal en M à la tangente MT, ct fera un angle 0 avec la normale MN. Ses cosinus directeurs (À, p, v), qui sont donnés par les formules (9) du N° 288, satisfont à la relation

cos 0 — XÀ + Yu 7», qui devient, par la substitution des valeurs de X, Y, Z, et des valeurs de À; LV,

cos 0

d cos y — pd cos à — qd cos G R 0,

k L'équation (3), différentiée, donne d cos y — pd cos « — qd cos 5 = cos à dp + cos É dg,

et comme on a d’autre part (5) dp = rdx + sdy, dq = sdx + ty,

si l’on substitue et qu’on remplace dx et dy par cos & ds, cos £ds, on trouvera

cos0 r cos?a + 25 cos « cos 8 + 1 cos’f (2) TES ARE FE

Cette formule conduit à deux conséquences importantes : 1° Le second membre ne dépend que des quantités p, q, r, s, {, qui ont des valeurs déterminées au point M, et des angles directeurs «, 5 de la tangente à la courbe (C); le premier membre a donc la même valeur pour deux courbes (C) qui ont le même plan osculateur en M, et comme cos 0 est évidemment le même pour ces deux courbes, R aura aussi la même valeur et le centre de courbure Z sera le même. Donc le centre de courbure d’une courbe tracée sur la sur face, en un point M, coïncide avec celui de la section que son plan osculateur en M détermine dans la surface, théorème qui ramène la courbure des courbes quelconques tracées sur la surface à celle des sections planes.

2e Si l’on mène par la tangente MT une section normale, son rayon de courbure sera dirigé suivant la normale à la surface, on aura cos 9 = Æ 1, le premier membre de l’équation (x) se reduira à 1 : Rou—1:R, selon que le rayon de courbure sera dirigé vers MN ou en sens contraire, ou simplement à 1 : R, si nous convenons de regarder R comme positif dans le premier cas et comme négatif dans le second. L’équation («) donne alors, pour l'expression du rayon de courbure d’une section normale définie par les angles (x, (5),

(6) Tr eos L 28 cos à cos D + { cos É ?

et le signe dont R est affecté détermine la sens dans lequel la section normale tourne sa concavité par rapport à la direction MN. L’équation (a) donne alors, pour le rayon R’ d’une section oblique, dont le plan fait un un angle 9 avec celui de la section normale,

cosÛ 1 ———— où R'—R cos,

R’ R équation qui renferme le théorème de Meusnier : Le rayon de courbure d’une section oblique, en un point M d’une surface, est la projection sur le plan de cette section du rayon de courbure de la section normale qui a la même tangente en M.

Ce théorème ramenant l’étude de la courbure de toutes les sections planes à celle des sections normales, il nous reste à nous occuper de ces dernières.

258. Nous avons pris jusqu'ici des axes rectangulaires quelconques; concevons maintenant que l’on place l’origine au point M, qu'on prenne la normale MN (fig. 42) pour axe des z positifs, et le plan tangent en M pour plan XY.

Il faudra évidemment faire dans les formules précédentes

VX )YEier= 0) DEEE cos 5 —sin &«, K—7,

et l'expression (6) du rayon de courbure d’une section normale donnera

Fig. 42.

r Tr — |

= r COS?x — 25 sin c cos a — + sin?a —