EE

dx pdz dygdz E—2z Cette équation comparée à l’équation (13) du chapitre précédent, suffit pour montrer que la courbe cherchée (C) doit être tangente en M à l'une des sections principales qui passent par ce point. En remplaçant dans cette équation dz, dp, da par leurs valeurs respectives

pdx Lady, rdxÆsdy, sdx + tdy, chassant les dénominateurs et divisant par dx?, on trouvera, comme au N° 202, l'équation

dy° dy

(4) (GHa)s- past +pi (Hg) +lpgr — (+ ps) 0,

qui est ce qu'on appelle l'équation différentielle des lignes de courbure. Elle détermine, en un point quelconque de la surface les deux valeurs de dy : dx appartenant aux deux lignes de courbure passant par ce point. On y substituera les valeurs de p,q,r,s,t en fonction de x, y, tirées de l’équation de la surface, on aura une équation différentielle entre y et x. Le calcul intégral, comme on le verra plus loin, permettra de remonter de cette équation à l'équation entre x, y de la projection de la courbe cherchée sur le plan XY, et fournira deux équations

f(x, y, C)=0, fi(x, y, C) = 0, dans lesquelles C sera une constante arbitraire. Chacune représentera un système de lignes de courbure projetées sur le plan XY, et comme on peut généralement déterminer C de manière à faire passer une courbe de chaque système par un point donné de la surface, il passera par chaque

point deux lignes de courbure qui, étant tangentes aux sections prineipales, se couperont à angle droit. On conclut donc de là que

Une surface admet généralement deux systèmes de lignes de courbure qui se coupent partout sous un angle droit. En chacun de ses points, une ligne de courbure est langente à l’une des sections principales de la surface en ce point.

Par exemple, dans une surface de révolution, les normales à la surface aux différents points d’un même méridien sont dans le plan de ce méridien, qui est donc une ligne de courbure ; les normales menées aux différents points d’un même parallèle vont se couper sur l’axe de révolution, le parallèle est aussi une ligne de courbure. Les deux systèmes de lignes de courbure sont ici les méridiens et les parallèles, et l’on sait qu'ils se coupent rectangulairement. On remarquera que, dans ce cas très simple les lignes de courbure des deux systèmes sont planes.

267. L’équation (4) est vérifiée indentiquement quel que soit dy : dx, lorsque le point M est un ombilic; car les équations (11) du N° 260 rendent nuls les coefficients de l’équation. On pourrait donc croire que, par un ombilic, passent une infinité de lignes de courbure.

Pour éclaircir cette difficulté, observons d’abord que, d’après l’équation (19) du chapitre précédent, la torsion géodésique est nulle, en un tel point, quelle que soit la direction suivant laquelle on se déplace sur la surface, puisque l’on a R’ = R’’. Toutes les normales infiniment voisines de la normale en M tombent dans le plan de la section normale et coupent la normale en M; la condition qui caractérise les lignes de courbure doit donc être vérifiée, au point M, quelle que soit la courbe (C). Mais ce n'est là, en quelque sorte, qu’un élément de ligne de courbure ; pour reconnaitre véritablement les lignes de courbure de longueur finie qui viennent passer par l’ombilic, concevons que l’on parcoure une telle ligne en se rapprochant indéfiniment du point M, et qu'on détermine l'équation que vérifient les valeurs limites de dy : dx. Nous aurons ainsi le nombre et la direction des lignes de courbure passant en M.

Or, l'équation (4), mise sous la forme

est vérifiée en chaque point d’une ligne de courbure ; il en est donc de

même de celle qu’on obtiendra en la différentiant totalement par rapport à x; et comme on a

dp dy 1 oo de de +1 etc...

le résultat sera évidemment de la forme

dy dy \° dy\? dy CZ BHO) +e,(9) HO (TE) ++ so

P1, Q1, .… étant des fonctions de x, y. Mais puisque P, Q tendent vers zéro lorsque le point (x, y, z) s'approche indéfiniment de M, on a, à la limite, la relation

dy\° dy\°? d (6) P; —) + Q: æ) HR HS — 0

à laquelle doit satisfaire la direction des lignes de courbure en M. Comme cette équation est du 3%° degré en dy : dx, elle admettra trois racines pour celte dérivée; toutes trois seront réelles, ou il y en aura une réelle et deux imaginaires. On en conclut donc que généralement il passe par un ombilic trois lignes de courbure ou une seule.

Il se pourrait cependant que l’équation (6) elle-même, à l’ombilic, devint indentique, P;,, Qi, ... se réduisant à zéro; on continuerait à procéder de même, et l’on aurait quatre, ou deux lignes de courbure passant par l’ombilic. Il peut même se faire qu’il passe une infinité de lignes de courbure par l'ombilic, comme cela a lieu, par exemple, au sommet d’une surface de révolution.

Appliquons ce qui précède à l’ellipsoïde,

Gars RTE a Dec.

On a, par différentiation (486),

17 pve Ga #e ri ra er = — =: Q —= Pine Nr eee . — I ae 1 DAC Liz AC

| CES Y PUR arbres it. AT RTE A (E a £)

Substituant ces valeurs dans l'équation (4), supprimant le facteur

— € :25, multipliant toute l'équation par z? : c! et faisant les réductions, on obtient d’abord l'équation des lignes de courbure sous la forme

Graves [(G- es JetG-s)alé

Au moyer de l’équation de l’ellipsoïde, on élimine z? dans le coefficient de dy : dx, et l’on a enfin, pour les lignes de courbure de l’ellipsoïde, l'équation

bien que 2 2 2 AW pm |(e— 0) (ae ET

Ms S sig © xy— 0.

Nous verrons plus tard comment on intègre cette équation. Actuellement, observons qu’elle devient identique pour

nl a? — b? b? — c?

y—0; se EE, ta / NS valeurs qui appartiennent à l’un des quatre ombilics de l’ellipsoïde : mais

si l’on applique la méthode ci-dessus, on trouve d’abord pour l'équation (6)

DCE NOT R CRC D RCA ENTER Ra c? — a?

TE de a PA Do

Elle se réduit, pour l’un quelconque des ombilics, à

dy [/b?—c? dy? c'— a? Te dx b? dx? a? Na

équation qui admet une seule racine réelle

dy dx

Par les ombilics de l’ellipsoïde il ne passe done qu'une seule ligne de courbure, qui est la section principale comprenant ces quatre points.

268. Reprenons l'étude générale des lignes de courbure. Par une normale quelconque MN (fig. 45) passent deux normalies développables

correspondant aux deux lignes de courbure se croissant en M. La normale MN touche donc les arètes de rebroussement de ces deux normalies en deux points C’ et C’”’, qui sont les points centraux de la normale MN, considérée successivement comme génératrice des deux | normalies. Ces points sont donnés, pour chacune des normalies, par les équations (1) et (3), en sorte que l’on a

En YA MMUT DE

p q mi, dp __ dy + qdz — d On voit immédiatement que les coordon- kg. 45.

nées &, n, 6 sont celles du centre de courbure de la section principale à laquelle est tangente la ligne de courbure que l’on considère. On » done ce théorème : Le point où une normale à la surface touche l’arête de rebroussement de la normalie développable dont cette normale est une des génératrices, coïncide avec le centre de courbure de la section principale à laquelle cette normalie est tangente.

Les arêtes de rebroussement des normalies correspondant à un premier système de lignes de courbure sont sur une même surface, tangente à toutes les normales à la surfuce donnée. Il en est de même des arêtes des normalies qui répondent au deuxième système Ces deux surfaces sont deux nappes d’une même surface Z, qui est le lieu des centres de courbure principaux de la surface donnée S, et qu’on appelle, pour cette raison, la surface des centres de celle-ci.

Soit (N’) la normalie correspondant à la ligne de courbure (C’) qui passe par un point M; chacune de ses génératrices étant tangente à la surface 2 en deux points, le lieu de ces points de contact se compose de deux courbes, dont l’une est l’arête de rebroussement de (N’). Il ne s'ensuit pas que la normalie touche la surface 2 le long de cette arète, car la ligne qui joint deux points de contact infiniment voisins a pour limite la génératrice même ; mais la seconde courbe est une courbe de contact, parce que la ligne qui joint les points de contact de deux génératrices voisines étant distincte de la génératrice, les plans tangents à la surface Z et à la surface (N’) sont nécessairement identiques. Chacune

des normalies développables a donc son arête sur une nappe de la surface 2 et est circonscrite à l’autre nappe. Il suit de là que, les plans tangents aux deux normalies qui se coupent suivant une normale MN étant évidemment rectangulaires, il en est de même des plans tangents à la surface È aux deux points C' et C'' où elle est touchée par la normale MN.

Et l’on voit par là que toute normalie a le plan osculateur de son arête de rebroussement normal à la surface ZX sur laquelle elle sc trouve.

269. Concevons deux surfaces S et S, se coupant suivant une courbe (C), dont MT est la tangente en M (fig. 46), et soient MN, MN, les normales respectives à S et S; au point M, en sorte que NMN; est le plan normal à (C). Si par le point M on mène des parallèles aux normales M’N’, M'N’, aux surfaces Set S, en un point infiniment voisin M’; que

Fig. 46. lon projette ces parallèles sur le plan MNN, suivant Mn, Mn, respectivement, on voit immédiatement 1° que l'angle NMn peut être considéré comme celui dont la normale à la surface s’écarte du plan de la section normale NMT quand on passe du point M au point M’;.son rapport à MM’ est donc égal à la torsion géodésique (264) de la courbe (C), mesurée sur la surface S; de même N,Mn, : MM’ sera égal à la torsion géodésique de la courbe (C), par rapport à la surface S, ; 2° que les plans normaux infiniment voisins NMN,, N'M'N;, comprenant entr'eux un angle infiniment petit, l’angle N'M'N, et sa projection #»Mn, sur le plan NMN, peuvent être regardés comme égaux aux infiniment petits près d'ordre supérieur, d’après un lemme connu (60).

Il suit de là que, si les surfaces S et S; se coupent sous un angle constant, les angles NMN, et N’M’N' étant égaux, il en sera de même des angles NMN, et nMn, et par suite aussi, des angles NMn, N,Mn,, en négligeant des quantités d'ordre supérieur au premier ; d’où ce théorème : Si deux surfaces S et S; se coupent sous un angle constant, la torsion géodésique de leur courbe d’intersection a la même valeur et le même signe, quelle que soit celle des deux surfaces sur laquelle on la mesure.

D'où résulte cette autre propriété : si la courbe d’intersection est une ligne de courbure de l’une des surfaces, elle est aussi une ligne de cour-

bure de l'autre, car sa torsion géodésique est nulle par rapport à la première (265).

Ainsi, toute courbe plane pouvant être regardée comme une ligne de courbure du plan sur lequel elle est tracée, lorsqu'un plan coupe une surface sous un angle constant, la section est une ligne de courbure de la surface, ce qui se vérifie sur les méridiens et les parallèles d’une surface de révolution.

270. Théorème de Charles Dupin. — Supposons que trois surfaces $, S:, S2 se coupent deux-à-deux orthogonalement, suivant les courbes MA, MB, MC (fig. 47), en sorte qu’au point M la tangente à l'intersection de deux surfaces coïncide avec la normale à la troisième. La torsion géodésique de chacune des courbes MA, MB, MC ayant même valeur et même signe sur les deux surfaces auxquelles elle appartient (269), nous pouvons désigner simple- Pig. 47. ment ces torsions par

VERRE DONS À Mais, d’après le théorème du n° 265, 2°, les lignes orthogonales MA,

MB, situées sur une même surface S2, ont au point M des torsions géodésiques égales et de signes contraires, on a donc la relation

TORT LL —0o Ur ;

et par un raisonnement semblable sur les deux surfaces S et S,, LHRT L'REL ES + DO RES -L 0; V1 Ya ÉÉ T À

équations qui ne peuvent coexister, évidemment, que si l’on a

Lt era RIT RDE TS

Donc les courbes d’intersection MA, MB, MC, des surfaces S, Si, Sa deux à deux sont tangentes, au point M, aux sections principales de chacune des surfaces auxquelles elles appartiennent.

Conceyons donc trois systèmes de surfaces (1), (11), (IT) se succédant

dans l’espace d’une manière continue, et telles que toutes les surfaces d’un même système soient coupées partout à angle droit par les surfaces appartenant aux deux autres. [Ex. : sphères concentriques, cônes de révolution autour d’un diamètre, plans passant par ce diamètre]. La courbe d’intersection d’une surface S du système (1) par une surface du système (II) jouira, en chacun de ses points, de la propriété ci-dessus, puisque en ce point les tangentes aux trois courbes d’intersection des surfaces (I), (IT) et (III) forment un trièdre rectangulaire. Elle sera donc constamment tangente aux sections principales de la surface S, et sera une de ses lignes de courbure. Le même raisonnement s'applique à toutes les courbes d’intersection, d’où le théorème de Ch. Dupin:

Lorsque trois familles de surfaces se coupent partout orthogonalement, elles se coupent suivant leurs lignes de courbure.

En sorte que les lignes de courbure d’une surface S du système (I) ne sont autre chose que ses intersections par toutes les surfaces des systèmes (ET) et (HD).

Exercices.

4. Trouver les rayons de courbure principaux et les lignes de courbure de l’hélicoïde gauche qui a pour équation y Z—= a arc tg —:- 8%

R. Introduisons deux variables auxiliaires u et 6, et mettons l’équation de la surface sous la forme

(x) D—UCO80, 2y—uSIN0 02000.

Différentiant et appliquant la méthode du changement de variables, on trouve facilement

a sin 6 a cos 2a sin 8 cos 8 a (sin? 8 — cos° 6) P = — , Q—= 9 She RES TT 0 Ve u u (7 u Il en résulte a+ y? a? :

np gr = TEE Ne (TR) NES, APE (TT; pi) EC) et l'équation des rayons principaux donne Re RCE u

C’est le rayon de torsion de l'helice représentée par les équations (x) où w est supposé constant.

Pour trouver l'équation différentielle des lignes de courbure, on part de la formule (3) dp 2 dq dæ + pdz dy <+qdz

et en substituant à dp, dg, .… leurs valeurs, on trouvera l’équation

sin ôdu — u cos Od8 Le cos Odu +- u sin 0d6 u cos Odu — (a + u°) sin 049 ” usin ôdu + (a° + u°) cos 040 |

ou réductions faites du

| Ve + Le premier membre est (86) la dérivée de L(u+V/a tu,

en sorte que l'équation des lignes de courbure, C désignant une constante arbitraire,

et 00:

peut s’écrire

L(u+Va Hu) =C+06,

A désignant une constante arbitraire. Discuter. 2. Lignes de courbure de l’ellipsoïde, R. On appliquera le théorème de Dupin. L’équation

ou, résolue par rapport à u,

DL TE DL POLE a+) Brita 1, a>b>c, À étant un paramètre variable, représente une ellipsoïde si } > 0; un hyperboloïde à une nappe, si — €? >) — b°; à deux nappes si — b > 1 >> — a°. Ces trois sysièmes de surfaces se coupent à angle droit. Les systèmes des hyperboloïdes à une et à deux nappes tracent sur un ellipsoïde À toutes ses lignes de courbure.