FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES D’UNE VARIABLE IMAGINAIRE ; LEURS DÉRIVÉES
2214. Soient x, y deux variables réelles quelconques ; l’expression
z= 2x4 y est ce qu’on appelle une variable imaginaire. On la représente aussi par
z = r (cos o +1 sin p), r étant le module, o l’argument de z; la variable z est figurée géométriquement par un point M du plan, l’affixe de z, quia pour coordonnées rectangulaires x et y, pour coordonnées polaires r et g (4).
Lorsque les variables x et y tendent respectivement vers des limites fixes a etb,on dit que la variable z a pour limite a L bi; si a = 0, b— 0, z a pour limite zéro et s'appelle une quantité imaginaire tn/fint-
,ment petite. Pour que z soit infiniment petit, il faut et il suffit que son module r soit infiniment petit (4).
Les théorèmes établis au N° 24 subsistent, comme il est facile de le démontrer, pour la limite d’une somme, d’un produit, etc., de quantités imaginaires.
Soient o (x, y), x (x, y) deux fonctions réelles des variables réelles
x, y. L'expresion | FR)= (@, y) ix (y)
est ce qu’on nomme une fonction de la variable imaginaire z, dans le sens le plus étendu. Si les fonctions o (x, y), y (x, y) sont simples et continues dans une région T (834) du plan XY, on dit que f (z) est une fonction simple et continue de z dans cette région. Le point variable z allant d’un point z à un point z,, par un chemin quelconque dans cette région, à un accroissement infiniment petit
Az — Ar + iAy
de la variable correspond un accroissement infiniment petit Af (z) de la fonction. Le point Z, qui représente la fonction f(z), décrira un chemin continu dans une région déterminée T’ du plan.
Les développements donnés aux N°: 6 et 7 suffisent pour définir la fonetion z”, m étant un nombre entier, positif ou négatif. On a, dans les deux cas
z = r" (cos mp —+ 1 sin my).
Toute fonction rationnelle, entière ou fractionnaire, de z, est définie par là même. Ainsi
f(z)—a+bz+ cz +... Liz,
a, b, .… l'étant des constantes réelles ou imaginaires, est une fonction rationnelle entière de z.
232. Pour définir la fonction e*, nous poserons, x et y étant réels,
evi— cos y +1siny et et+yi — ex eut,
Ces conventions donnent (1) ef — e* (cos y + 1 sin y).
Il en résulte que si l’on pose z' — x’ — y'i, on aura, par des propriétés connues (6),
ee — e* (cos y + 1 sin y) X e*’ (cos y’ Li sin y) — 6°+# [cos (y + y’) + à sin (y + y'}]—= +, donc la propriété fondamentale de la fonction exponentielle,
e£ € — ess,
subsiste lorsque les variables z et z’ sont imaginaires.
On remarquera encore les équations
Ti
GIRET, et — 7, e ? — }
La fonction 1.z est la variable # — vi définie par l’équation CENT, On a donc e“ (cos v + 2 sin v) — r (cos p + 1 sin y), et d’après ce qu’on a vu (4), sr, U—Ep+ 2k7,
k étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif. Donc
(2) Lz=]lr+oœoi—+ 2kri.
La fonction !. z est donc une fonction à détermination multiple, qui admet, en un même point z du plan, une infinité de valeurs imaginaires différant l’une de l’autre d’un multiple de 27. Parmi ces valeurs, il convient de distinguer celle qui correspond à k — 0,
l’angle o étant compris entre o et 27.
223%. Nous définirons les fonctions cos z, sin z, z étant imaginaire, par les égalités ei er‘ k ei É44 1 e” zi (3) ne ARR SiN Zz = —— , 2 21 en vertu desquelles l’égalité ei cos z + sin z subsistera pour z imaginaire. On déduit des relations (3) e + 6e? CIE DIET
COS Z — — COS X — À ——— sin Y, 2 2
: (dome or pe SIN Zz = ———— . Sin & + ? —— cos x.
On déduit aussi des formules (3) que les relations trigonométriques
cos (z + 2’) — cos z cos z' -— sin z sin 7’, sin (z + z’) — sin z cos z’ + cos z sin 7”, sin?z + cos?z — 1,
etc.., subsistent pour des valeurs imaginaires de z et de 7’.
Les autres fonctions trigonométriques sont définies par les relations
gz——, secz— ——, etc.
cos z cos z Ainsi l’on a (4)
I ei paie, à et I = PLEL tg Pere in t I Let
On considère aussi les fonctions dites hyperboliques, définies par les relations
es Le: € — e7*°
Chr She ee
(5) X 5 z z , par lesquelles on établira facilement les propriétés
Ch(— z) = Ch z, Sh (— z) = — Sh z, ChzEShz—e, Chz—Shz—e-, Ch? z — Sh?z — 1, Ch zi— cos z, Sh zi — 2 sin z.
elc.:. etc...
Les fonctions inverses w — arc sin z, u = arc cos z, etc... seraient définies par les équations respectives
—= Zoe
e“i ete. eTui ei À eut
Nous ne les étudierons pas ici, mais nous ferons observer que, de l’équation (4), on tire
1, I+ityz À et RE Eu 22 1—11g7z et en posant tg z — Ë, 1 12 SIREN ait à 1 — 0
Enfin, la fonction z”* est définie, pour des valeurs quelconques, réelles ou imaginaires, de met de z, par la formule
(6) Zn — eme,
qui montre 1° que si m est réel et fractionnaire, en vertu de la formule
(2), z" admet un nombre fini de valeurs distinctes qui s'accordent avec celles qu’on a trouvées au n° 7 ; 2° si m est irrationnel ou imaginaire, 7" admet une infinité de valeurs; 3° que l’on a encore, pour "= réel,
comme lorsque m est entier et positif (6).
274. Les formules qui précèdent donnent licu à de nombreuses applications. 1° Prenons l'égalité 2% — 1
1H ztet EL. LE gi — GES
qui subsiste évidemment pour toute valeur réelle ou imaginaire de z. Si nous y faisons z — e°i, nous aurons
e2n0i ss, fi ent eme e"0i
I + ex + e40i +... + e(2n—2)0i Les és etn—1)0i e20i NT e0i — pe-0i sin n0 = — cos (n — 1)0 L2sin(n — 1)01.
ne Ceos (n — 1) 0 +-à sin (n — 1) 6]
Egalant séparément les parties réelles et les coefficients de 2 dans les deux membres, on a
sin #0 cos (n --1)0
| 1-4 008 295$ 008 40e cos (on NES dl
sin #0 si — 1)8
sin 20 + sin 48 + . + sin (2n — 2) 0 SOS (SAUT :
sin 0
Si l’on multiplie les deux membres de l'égalité ci-dessus par e/° on a
aussi
sin n0 ïj.
PULL + es)... — et2n-n0i —
et en séparant les parties réelles,
sin @
sin n0 cos nô
cos 0 + cos 30 L ... L cos (2n — 1) 0 —
sin Ô (8) n° " ge ; sin? nô sin 0 + sin 30 +... sin (2n — 1)0 = ———.
sin 0 2° Soit encore à trouver la valeur du produit 27 . N—I =n—1 kT
tr = II sin —.
QUES SIN — SIN — +. Sin n n
D’après l’expression des sinus en exponentielles imaginaires, on a
te : kTri kTti L KTTi 2kT4 Les, Me DRASS NEA 2 RENE SA RUT PTE TEA If; sin ñ (21)! Ir’ (e n e n = Gi CRT (e n 1). Or kTTi Ti Ti 4 —— — (1424. +n—1) ———(n-—1) Ir'aLe n—e " w 02 = (— it,
D'autre part, on sait (8) que les racines de l’équation x" — 1 — o s’obtiennent en faisant k—o, 1,2,..., n — 1, dans l'expression
2 KT AM CRT Le COS — + 1SIn— — 6 * , n n en sorte que l’on a identiquement 2k Ti
a —1—(x—1)U%t(x—e"), d’où e If '(c—e”" )}—i1+xta +... Lori, et en faisant x = 1 et changeant les signes, Un IT (e " —1)—(— 1)" tn.
Substituant et réduisant, on a la formule remarquable
AT T . N—I n (9) SIN — + Sin — ++. Sin TE n n
275. On dit qu’une fonction f (z) admet une dérivée, pour une valeur z de la variable, si pour cette valeur le rapport Af(z) Ar(x, y) +iAy (x, y) Az Ax LiAy tend vers une limite déterminée et unique, Ax et Ay tendant vers zéro d'une manière quelconque. Cette limite se désigne par f’ (z) ou par Df(2) et s’appelle la dérivée de f (2).
Partant de cette définition, on démontrera sans peine que les règles du N° 73 pour dériver une somme, un produit, etc... de fonctions d’une seule variable, subsistent pour des fonctions d’une variable imaginaire, et qu'il en est de même des règles de dérivation des fonctions inverses et des fonctions de fonctions (78, 79). Il suit immédiatement de là que l’on a, pour m entier (positif ou négatif),
Dz" == mz”°1,
Pour trouver la dérivée de e’, reprenons l’équation e —e* cosy + 1e” sin y, et soit Az = Ax + iAy l'accroissement de la variable z. Nous aurons, d’après la formule (1) du N°142.
Ae— e: (cosy Ax — sin y Ày) Lie’ (siny Ax + cosyAy)LwAx—LoAy, &, & étant des quantités imaginaires, qui tendent vers zéro en même temps que Ax et Ay tendent vers zéro. On tire de là
Ae = e* (cos y + à sin y) (Ax + iAy) + wAx + w'Ay,
Posons Ax + 1Ay — p (cos à + i sin à); il faut et il suffit que p tende vers zéro pour que Ax, Ay tendent vers zéro. Le dernier terme de l'équation devient
p (o cos à + w’ sin &) p (cos « + 1sin «) et comme cette expression a pour limite zéro, quel que soit æ, puisque © et w’ sont infiniment petits avec p, il vient
— (w cos « + w’ sin x) (cos « — 1 sin à)
lim———e, ou De = e,
La dérivée première étant égale à la fonction elle-même, il en sera de même de toutes les dérivées suivantes.
Si l’on fait u —1.z, on a z —e", ct d’après la formule ci-dessus et la règle des fonctions inverses
D,z = LÉ D.u =— ——
donc
On en conclut, par la règle qui donne la dérivée de z"', I 1.2 1.2...(n — 1) D°1.z = ——; D5l.z—— » … D'I. z — (— à Lie LENS ERA RENE ER Pere LA 2 23 VAL
comme lorsque la variable z est réelle.
La formule pour dériver e* donne immédiatement
e’i et et et ; Decen —1——— — —sinz, 2 2
j ei Res 4 ei ei + ei D sin z = D —— — — cos z, 21 2
et l’on retrouverait ainsi, pour z imaginaire, les formules connues drs dérivées de tg z, cot z, etc... On a de même
