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OA, dans lequel tombent tous les points A4, A2, As, ..…, et l’espace O’B, dans lequel tombent tous les points B;:, B:, B;, ... ne peuvent jamais avoir aucune partie commune ; ils restent donc toujours séparés, soit par un espace déterminé, soit par un point. La première supposition est impossible, car la différence b, — a, ne deviendrait pas alors plus petite qu’une fraction donnée quelconque; il existe donc sur la droite O0 un point unique Q toujours compris entre A, et B,, ou une longueur unique OQ toujours comprise entre O4, et OB,, quelque grand que soit », et c’est cette longueur que mesure le nombre q défini par les suites (T) et (I). 43. Réciproquement, toute grandeur, qu'elle soit ou non susceptible d’être représentée par un nombre rationnel, sera mesurable par un nombre q défini par des suites analogues aux suites (1) et (II). Concevons par exemple, une longueur OQ portée sur la droite O0”, telle que la diagonale du carré qui a pour côté l’unité de longueur. Soient a, le nombre d’unités comprises dans OQ; OA; — 1, OB: — a + 1 deux longueurs entre lesquelles OQ sera évidemment compris. Partageant la longueur-unité en 10 parties égales, on portera à partir de A; une longueur À,A2 comprenant autant de ces dixièmes qu’il y en a dans A1Q, et une longueur A,B: en comprenant une de plus ; Q sera compris entre A2 et B:, Puis on divisera chaque dixième de l’unité en 10 parties égales et on opérera de la même manière. En poursuivant cette opération, ou bien le point Q finira par coïncider avec l’un des points A,, et dans ce cas OQ sera mesuré par un nombre rationnel; ou bien nous déterminerons deux suiles indéfinies de longueurs OA, OA, .. OA, .….; OB:, OBz:, .… OB,, ..… entre lesquelles la longueur OQ restera indéfiniment comprise, et deux suites correspondantes de nombres rationnels

1; a», ss. Un; ..., bi, ba, ... b,, ..

jouissant des mêmes propriétés que les suites (1) et (II), et définissant conséquemment un nombre q qui mesurera exactement la longueur

OQ (1).

(1) Ainsi, le côté du carré étant pris pour unité, les longueurs mesurées par les nombres

Lÿ. Iyds :Ijdls I,4145 1,41425... d’une part, et 2541550 154250 I,4L55 T,4149:.. d'autre Hall:

finiront par différer aussi peu qu’on voudra de la diagonale du carré,