CHAPITRE XXVIIL

SÉRIES ORDONNÉES SUIVANT LES PUISSANCES ASCENDANTES D’'UNE VARIABLE IMAGINAIRE. EXTENSION DE LA FORMULÉ DE TAYLOR.

276. Une série, dont les termes sont des fonctions d’une variable imaginaire z, est équiconvergente dans une région T du plan, lorsque, étant donné un nombre € aussi petit qu’on le veut, on peut assigner un nombre N tel que le module du reste R, de la série soit moindre que & pour toute valeur de x égale ou supérieure à N, et pour toute valeur de z appartenant à la région T.

Parmi les séries dont les termes sont des fonctions de z, on distingue les séries potentielles ou séries de la forme (1) Go + @17 + 27? + +. + az" os Giyses Ans... étant des coefficients constants, réels ou imaginaires. On peut d’ailleurs établir sur ces séries une suite de propositions analogues à celles du chapitre VI, S 1, et dont les démonstrations se feront exactement de même. Il suffira de remplacer partout les « valeurs absolues » des quantités par les « modules » des quantités, et la variable réelle x comprise dans un intervalle (a, b), par une variable imaginaire z variant

dans une région T. Cette remarque faite, nous pouvons nous borner à énoncer les propositions :

I. Une série imaginaire est équiconvergente dans une région T lorsque, dans toute cette région, les modules de ses termes sont égaux ou inférieurs aux termes de même rang d’une série convergente à termes positifs.

II. Une série dont le terme général u, est fonction continue de z dans une région T et qui est équiconvergente dans celte région, à pour somme une fonction continue de z.

IL. Si, pour une module r, de z, le module du terme général a, z" de la série (1) ne peut jamais surpasser un nombre fixe, la série (1) sera absolument convergente pour toute valeur de z dont le module sera inférieur à rs.

Donc, pour déterminer la région de convergence de la série (1), on fera croître le module r de z à partir de zéro; on cherchera la plus grande valeur R de r pour laquelle mod a,z" ne croît pas indéfiniment avec n, ou la limite supérieure R des valeurs de z satisfaisant à cette condition, On décrira de l’origine comme centre un cercle de rayon R : cest ce qu’on appelle le cercle de convergence de la série (1). La série sera absolument convergente si mod z <°R ou si le point z est dans l’intérieur de ce cercle, d’après le théorème IIT ; elle scra divergente si le point z est hors du cercle, puisque mod a,z" sera indéfiniment croissant avec n. Sur la circonférence même, la série sera, tantôt convergente, tantôt divergente.

IV. La série (2) est équiconvergente dans la région limitée par un cercle qui a l’origine pour centre, et un rayon déterminé p <R; elle a pour somme une fonction continue de z dans cette région.

V. Deux séries potentielles ordonnées suivant les puissances d’une même variable z et dont les sommes sont égales dans l’intérieur d’un cercle qui a pour centre l’origine, sont identiques terme pour terme.

Ilen résulte qu’une fonction f(z) ne peut être développée en série potentielle que d’une seule manière.

277. Soit o (z) une fonction de z, g’ (z) sa dérivée, z, et z, deux valeurs de la variable, « et b leurs affixes. On aura (2) mod #69 8) € mod 9 (®,

FF

Zi —— Zo 6 désignant une valeur de z dont l'affixe sera un certain point du segment rectiligne ab.

Supposons, en cffet, m et M étant (fig. 48) les affixes respectives de z et de @ (2), que le point M déerive l’arc de courbe AMB pendant que le point m décrit le segment rectiligne ab. Posons s — am, S — are AM. D'après la règle d’addition des grandeurs imagi- | naires (5), on aura

mod[o(z:)—@(z0)}— AB, mod(z;: —zo) — ab.

D'autre part, l’arc et la corde ayant pour rapport limite l'unité,

j . Ap(z) :. modAp(z)! . AS mod o’ (z) — mod. lim eee eee lim ne

Done, si l’on avait constamment, de z, à 2,

mod ç’ (z) < mo VAR 4) es AEA LR