RIRE

dS AB +7 PTS ou — ee

AB ne La fonction continue S — EE serait constamment décroissante quand a

on aurait aussi

le point m va de a à b, et comme elle est nulle pour s — 0, que pour s—ab ona S — arc AMB, il viendrait

arc AMB — AB < 0, ce qui est impossible.

On conclut de l’inégalité (2) que, À désignant une quantité imaginaire dont le module ne peut surpasser l’unité, on à

P (21) — 9 (Go) = À (ei — 20) g’ [ro + (1 — 8) (21 — 2)], ÿ étant une quantité réelle comprise entre zéro et l’unité. Considérons maintenant une fonction f(z) simple et continue entre deux valeurs a et b — a + h de z, et posons (DEA EEE 2 PE ET fe (2); 2 1.2...(n—1) d’où l’on trouve sans peine ni

NT en SUN cRe

À cause de la relation b — h — a, on a aussi

he hr (k)— p(o)= f(a)+ hf (a)+ mnt) (a) +. ONE fa) — f(b), et d'autre part, le lemme ci-dessus nous donne pk) — 9 (0) = kg" [(1 — 6) 4],

À et 6 ayant même signification que ci-dessus ; donc, remplaçant b par a + het o’ par sa valeur, on a

QD PC AMP + TE (a)

Ah (1 — 0)!

ete 1)

C’est la formule de Taylor étendue à une fonction de variable imagi-

fr (a +0h).

naire. L'expression du reste est due à M. Darboux. Si l’on y fait a — 0, h— z, on obtient la formule de Maclaurin —!