Développement de 1. (1+ 27). — En raisonnant absolument

comme au N° 824 et désignant par 1. (1 + z) le log. qui s’annule avec z, on trouvera encore la formule

Z FA (1 MURS: oc ST Re

et l'équation (A) donnera

À 1 —0 \* + n—A yn+i 5 le n° C x)

Le module du rapport du n°” terme au précédent est (n —2)r:n; si rest > 1,ce module finit par surpasser l’unité et la série est divergente. Il suffit done de s'occuper du cas où r € 1. On a, en posant toujours

z = r (cos p + 2 sin p), mod (1 + 82) — pp/1 + 26r cos p + 6?r?, et comme cos? >—1,0na

1 + 20 r cos o + 027? > (1 — Gr}?,

donc u

p>1—0r > 1—0, er. (——Y <.

Done, la valeur de R,,, nous donne

put!

mod Ra <

quantité qui tend vers zéro si n croît à l'infini.

La série trouvée ci-dessus est donc convergente et a pour somme (1 + z) 1. (1 + 7) pour tout point z dans le cercle de rayon 1 autour de . l’origine ou sur ce cercle. On en déduit, comme au N° 824, que si z n’est pas égal à — 1, on a l’égalité

(5) LG += er +E Et

équation qui se trouve ainsi démontrée pour toute valeur réelle ou imaginairc de z dont le module est inférieur ou égal à l'unité, sauf, dans ce dernier cas, pour @ = T Ou z = — 1.

Dans l'équation (5), remplaçons z par sa valeur r (cos o + tsin +), et observons que, d’après l’équation (2) du N° 27%, nous aurons

L(1Hz)= 1. (1 Lreos +irsing) =1.y/1—+ 2r cos ® +r°

| r sin ’ t ———————., AE Sr res o

Décomposant l’équation en deux équations réelles, nous trouverons ces deux développements

QE Da Hg ir cos pe Cot AGE 608 39 — +,

ctg —7 ang rsin Li si + ds sin 3 ATC tg ——— — — — sin 2 — — \ 87 + r cos o TE ? 3 Ces formules subsistent pour r — 1, sauf lorsque cos 9 — — 1; dans

cette hypothèse, nous aurons

RE I Ly/1tarcosp+r=1l.p/2(1 + cos?) — 1.260829,

arc t Leut — arc t in —aretg(ts5e)—10 81 —Lr cos S 1 cos p 2 2 si l’on suppose l’arc @ compris entre — et + 7x. On a donc, pour toute valeur de p > — x et < Tr, en séries convergentes,

I I I 1. C — == — = (0 —— 08 er 000 AO D COR LATE 39

I Q I Q I L 4 — p — — -sin 290 —-- sin 39 — ...

1 SR SOU EE Rene

280. Développement de (1 + z)". — D'après la définition de z" lorsque m n’est pas entier (278),ona

(1 + g)" bu enLl(s), et cette fonction admet, comme 1. (1 -4- z), une infinité de valeurs. Nous ne considérerons ici que celle de ces valeurs de 1, (1 + z) qui répond à k — o dans la formule (2) du n° 27%, et qui s’évanouit avec le module r de z. On a d’ailleurs

D(1—- 7)" — eml(1+r) dés

De en sorte que les dérivées de cette fonction restent de même forme que si z et m étaient réels. Pour étendre le plus possible la région de convergence de la série, nous développerons d’abord la fonction f(z) — (1 + z)"ti, m étant supposé réel, et nous aurons

PR)= (mr) (+) PC) Gi à) m (1 +2), rc fa) =(m+i)m... (m—n+Ho2)(i + ze,

Il faut donc exclure la valeur z — — 1 qui rendrait infinies les dérivées à partir d’un certain ordre. Substituons dans la formule (4), où nous changerons n en n + 1; il viendra

m m—i)m...(m—n+ 2 (Grant (mo) z + PDP a ne Ge ee PSV Le module du rapport du Fee terme au précédent est, pour n>m+ 2, a CL n n

il tend vers r lorsque n devient infini.

Donc, si r est > 1, la série sera divergente, le terme général ne tendant pas vers zéro. Il faut supposer r € 1. Nous allons prouver que, si m—+ 1 > o, l’expression mim—1)..(m—n+1x) (7) = 1er

a pour limite zéro, n croissant indéfiniment. On a en effet U, m—n—+11 mi Un

si m+1<o, le rapport U, : U,,, est égal ou supérieur à l’unité en valeur absolue, et U, ne tend pas vers zéro pour n infini. Mais si m +1 > o, il est clair que l’expression

finira par être toujours positive et moindre que l’unité. On aura d’ailleurs, p ayant une valeur entière quelconque,

= 7 Untr Up

“er SC ET (SE

On sait que, « étant > oet <1,ona

Li g=a + TT nn 70

WU —

donc

DT) EE) CGR

et comme le second membre de cette inégalité croît indéfiniment avec p (86), il en est de même du premier. Donc