CE

a pour limite — , et le produit lui-même a pour limite zéro. Il suit de là que U,.,, tend vers zéro lorsque p croit indéfiniment, donc enfin, il est démontré que l'expression U, a pour limite zéro lorsque n devient infini, sim#n + rest > o.

281. Ce lemme étant établi, revenons à l'équation (6), et considérons, dans l'hypothèse r € 1, le reste donné par la formule (A),

DUR me (mn) GX He ie 1.2... SAUT 9 CAE

Si nous posons encore c — mod (1 + 0x), nous verrons comme au

N° 239 que 1 —0 v* 1—0\" (= = de Fe ( p )

ne peut surpasser l'unité, quelque grand que soit #. On a semblablement

p>y/1 + 20r cos p— br? cos° © où p > 1 + Er cos p. Si cos o est positif ou nul, o est supérieur ou égal à l'unité. Si COS PO, elr == 1, on à 1 +0 cos® > 1 + cos y donc o > 2 cos* ? +.

Donc, dans aucun cas o ne peut descendre au-dessous d’une limite bien déterminée et le module de (1 + Or)" ou p” ne peut croître indéfiniment, même si m est négatif.

Cela posé, 1° sir est < 1,ona

mod R,,, < mod (+ 1)r X mod Ur” X 0" x CT ë

Le premier et les deux derniers facteurs ne pouvant croître indéfiniment avec n, comme on vient de le voir, et le facteur Ur” ayant pour limite zéro parce que la série ZU,r” est absolument convergente, R,,: tend vers zéro avec 1 : n, quel que’ soit m.

2 Si r—1, le premier et les deux derniers facteurs ne peuvent croître indéfiniment; le facteur U, tend vers zéro lorsque n croît à l’infini, si m— 1 > o, donc, sous cette réserve, R,,, a pour limite zéro.

Observons maintenant que l'on a

MHI=IEM, ———

en général,

(m—+-1)m...(m—n—+2) Le m(m—1)...(m—n +2) de m(m— r)..(m—n tt)