DIVERSES MÉTHODES D'INTÉGRATION

282. Le Calcul intégral est l'inverse du calcul différentiel ; il a pour but de remonter, de relations données entre les variables et leurs différentielles, aux relations primitives entre les variables elles-mêmes.

Le cas le plus simple et celui dont nous nous oceuperons d’abord, est le cas où l’on se propose de trouver une fonction d'une seule variable, connaissant sa dérivée en fonction explicite de cette variable seulement ; ce problème est celui des quadratures. Nous établirons plus loin l'existence générale de la fonction primitive, lorsque la dérivée satisfait à certaines conditions, et nous nous bornerons ici à établir ce théorème:

Lorsqu'on a trouvé une fonction F (x) de la variable x, dont la dérivée est égale à une fonction continue f(x) dans un intervalle détérminé (a, b), on aura une fonction plus générale en ajouitunt à la première une constante arbitraire C, et ce sera lu fonction continue la plus générale qui satlisfasse à cette condition. |

Si la fonction F (x) a pour dérivée f(x), il est évident que F (x) + C aura la même dérivée. Réciproquement il résulte du théorème IV, N° 914,

que toute fonction de x dont la dérivée est f(x) dans l’intervalle (a, b), est continue et ne peut différer de F (x) que par une constante.

Cette fonction la plus générale dont la dérivée est égale à f(x) se nomme l'intégrale indéfinie de f(x) dx, et se représente par la notation

[ f(x) dx

comprenant implicitement la constante arbitraire. Ainsi, les symboles d et [ indiquent deux opérations inverses l’une de l’autre qui se neutralisent :

df f{x)dx — f(x) dx.

Nous nous occuperons ici des méthodes connues pour la recherche des intégrales indéfinies, en exposant d’abord les procédés dont on fait le plus souvent usage dans cette recherche.

283, La différentiation et l'intégration constituant deux opérations inverses, chaque proposition concernant la première a sa réciproque . dans la seconde. Ainsi, a désignant un facteur constant, on sait que

d. a [ f(x) dx = ad À f(x) dx — af (x) dx, donc faf(x) dx = a À f(x) dx.

Tout facteur constant peut être mis hors du signe d'intégration. Les autres règles de différentiation donnent pareillement lieu à autant de procédés d'intégration que nous allons examiner.

Intégration immédiate. — Lorsque, dans l’expression à intégrer f(x) dx, on reconnaît la différentielle d’une fonction connue F (x), il suffit (282) d'ajouter à celle-ci une constante arbitraire C pour obtenir ff(x) dx. Cette remarque, appliquée aux différentielles des fonctions simples, donne le tableau suivant, sorte de dictionnaire que la mémoire doit bien posséder, parce que toute intégration s’y ramène en définitive :

Le dx a — - ue — —= (x dx RANCE 1} (ec,

f cos x de — sin x +C, f sin x dx — — cos x + C,

dx [ d — tg x + C, | . — — cotx +C,

COs® x sin? x

| dx = are din à Date cheap (= Dikim or), mn: 176 T — ne dx (: UE —arctwxæ EC, etc...

284. Intégration par substitution. — Cette méthode est basée sur la

règle pour différentier une fonction de fonction. Soit x la fonction qui vérifie l’équation du = f(x) dx, et posons x — (2), z étant une nouvelle variable. Nous aurons (78)

== f{(x)p'(z), du = ff (2)] g’ (2) dz

et w, considéré comme fonction de z, est donné par l'équation

u — [ffp(z)]®' (z) dz.

Si l’on choisit la relation x — @ (z) de manière à simplifier l'expression de du, et à la ramener à l’une des formes immédiatement intégrables, on aura w en fonction de z, et éliminant z à l’aide de la relation x —o®(z),. on trouvera « en fonction de x et le problème sera résolu. On a ainsi immédiatement

sin ax

et?

[e dx = — +C, [eus LL u

(0 en

dx De

re sin= + C == are sin — arte ete... Soit à ehcrcher dx re on posera a +- bx —z, d’où bdx — dz, et il viendra dx rfdz 1 I y a À — — — |, — — À, à > : ï| pl. 5! (a + 6x) + C.

De même

ARTE CARRE I | Le 2 | .

le + bx)" bd | CU (m—1)bz" (m—r)b(a+ br)": Are

L'intégrale de

dx u? - b2 x?

s'obtient en posant bx — az, bdx = udz, et l’on a

LE … le Ar 0 ee E e) a

a+ bia? ab}1Lz? ab Enfin, en divisant haut et bas par cos? x et posant tg x — 7, on 4

d dt. te % | SE (— tg x + C.

sin X COS X

Exercices.

dx evene HET Le

dx dæ I ae” == | É : . + |’ Le la< ° ue = 2 )+ ÿ

ædx 1 es Bai au te TC dx 1 ——— are SIN ({ — 2x) — — = [aresin(r— 22)}° RG; Dee LEE

dx | ee V' 1 — x°

ns

En général, si F'(æ) = f(x), on aura

[FE 0°) de = : F(a+a)+C; f f(e*)erdx — F(e*)+C,

Jf{sin x) cos xdx = F (sin æ) + C, etc

285. Intégration par décomposition. — En vertu de la règle pou différentier une somme de fonctions (3 é on a d{ f(x) dx + fo(x)de + [D(x)de + +.) = [f(x) + g(x) + Lx) +... ]dx,

donc, réciproquement, SE/(x) )+ p(x) + d(x) +... dx = [ f(x) dx + [o(x) dx + [4 (x) dx.

L'intégrale de la somme algébrique de plusieurs différentielles est égale

à la somme algébrique des intégrales de ces différentielles En décomposant une expression différentielle donnée en une somme

de plusieurs autres plus simples, on pourra ainsi dans beaucoup de cas ! léffectuer l'intégration. Exemple :

x ( dx me Jr A dx”