À | AR

PCR LCR a—bx)(a+bx) a? — b? x° a bx RU Le L. (a + bx) — SE :

24 rcre ni sl" (Ge TE

d’où enfin a? —b?a? -2ab a —bx

De même, en introduisant le facteur sin? x cos? x — 1, on trouvera

( dx dx ; dx Le LC FR ie IR nn Vi —=1gx —cotx — — 2C0t2x-fC.

sin? x cos? x cos? x sin?x ©?

Exercices.

dx Her 2 (æ — 1 (a + de] + C;

ARTE + = are sin — x = m0; [rgtede = 1ge + We

EE < iE

Lu æ Cos5 ie cosæx 2 + =

+2l.tgr+C;

s L | t | cost tir — = (1H cos 2x) dx = - (x + sin x cos x) + C; 2 2

PS EAP cos {a + b) x cos (a —bix c, sin ax COS DT OL = — PARAIT — ; RE T b) er I bæ 1, a—-bæ = (ot 12z sn 286, Intégration par partie. — On a trouvé pour différentier le

produit uv de deux fonctions de x la formule d.uv == vdu + udv, d’où udy = d.uv — vdu.

On a donc, par le n° précédent, fudv = uv — [vdu.

Cette équation contient la règle de l’intégration par partie. Chaque fois que la différentielle donnée f(x) dx sera décomposable dans le produit d’une fonction « par la différentielle dv d’une autre fonction connue, la règle ramènera la recherche de l'intégrale de f(x) dx à celle de fvdu, qui pourra être plus facile à trouver. Ainsi, si l’on a à chercher l'intégrale de arc tg x dx, on fera u — are tg x, v = x. et l’on aura

x dx I , arc tg © de = x are tg à — | ——— — x arc tg x — -1,(1 + x?) + C. De même, m étant entier et positif, tbcosr dead in sin 0m |viansin ex.

Une seconde intégration par partie ramènera à l'intégrale de

a"? cos x dx, et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’on arrive à [cos x dx ou à fsin x dx, qui, étant connue, fera connaître toutes les précédentes.

Exercices.

xe*dx NOTE

G+aÿ 142

[are sin rie a are sin +7 = +0; ( LC;

œ arc sin ædx — , (RE à ra ane in 8 + C;

dx x k I fre SIN &—— = —— are sin æ + = (rx) C; (1 — x)? V'1—2?

am—4 dx I 4 x m—1 . . m—2 x a EE — Au ; .… —— + |, Ga C0:

Te = Éd + Te (1 —x)

287. Remarque. — 1° Si l’on sépare, de la constante arbitraire C qui complète une intégrale indéfinie, une constante déterminée pour la réunir avec la fonction intégrale, on arrive à donner à celle-ci des formes

variées, qui pourraient faire croire, au premier abord, à l’existence de fonctions distinctes ayant même dérivée.

hote T Ainsi, en posant C— C; ——, C; désignant une nouvelle constante

arbitraire, on a