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Ce que nous disons d’une longueur portée sur une ligne droite se dira de toute autre grandeur susceptible de mesure à l’aide d’une unité bien définie.
44. L'égalité ou l'inégalité de deux nombres irrationnels résulte de ce qui a été dit plus haut sur leur comparaison avec un nombre rationnel.
Soient q, q’ deux nombres irrationnels définis respectivement par les doubles suites
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S'il existe un nombre rationnel s tel que l’on ait, suivant les principes développés au N° 48,
£ S>4 S<4'; les nombres irrationnel g et q’ seront inégaux et q' sera plus grand que q. S’il n’existe aucun nombre rationnel s satisfaisant à cette condition, c’est-à-dire, si l’on a toujours, pour des valeurs de n et de n’ croissant indéfiniment,
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les nombres irrationnels q et q', bien que définis par des suites différentes, seront égaux et mesureront des grandeurs concrètes égales, comme il serait facile de le faire voir.
45. Les définitions et les principes ci-dessus permettent de définir et d'étendre aux nombres irrationnels toutes les opérations de l’arithmétique; de prouver que les propriétés établies pour les nombres rationnels, telles que l'indifférence de l’ordre des facteurs dans un produit, etc.., subsistent pour les nombres irrationnels; que l’on peut, en un mot, traiter ceux-ci comme des nombres ordinaires(l), Is permettent en outre d'établir les proprétés suivantes :
4° On peut définir les nombres par des suites doubles analogues aux suites (1) et (II), composées de nombres irrationnels, mais il n’est aucun nombre ainsi déterminé qui ne puisse être défini par une suite double de nombres rationnels.
(4) Pour ces détails, en dehors de l’objet de ce cours, on pourra consulter J. TANNERY, Introd. à la théorie des fonct. d’une variable, ch. 1; — Dini, Teorica delle funzioni di variabili reali; — Srozz, Vorlesungen über allgem,. Arithmetik, ete.
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2 Tous les multiples et sous multiples d’un nombre irrationnel sont eux-mêmes des nombres irrationnels ;
5° Dans un intervalle arbitrairement petit, c’est-à-dire entre deux nombres rationnels ou irrationnels, si petite que soit leur différence, on peut toujours intercaler un nombre illimité de nombres rationnels et un nombre illimité de nombres irrationnels ;
4° Dans un tel intervalle, il existe toujours des nombres rationnels de la forme
Pipé + Ph E étant entier, ps, pe, … pn des nombres premiers donnés; «, (3, … u des exposants entiers convenablement choisis ;
$o Étant donné un nombre irrationnel q et un nombre entier D aussi grand qu’on le veut, il est toujours possible de déterminer une fraction € telle que, entre 9 —eet g + €, il n'existe aueun nombre fractionnaire dont le dénominateur soit moindre que D; etc...
Enfin, les nombres irrationnels peuvent être affectés des signes + et —, et entrer ainsi dans la catégorie des quantités positives et négatives. Par la suite, nous attacherons toujours aux mots nombre et quantité la signification généralisée qui vient d’être expliquée.
16. Des limites. — On appelle variable toute quantité qui, dans la question où on la considère, peut recevoir successivement une infinité de valeurs différentes, tandis que les quantités auxquelles on attribue des-valeurs déterminées et fixes sont appelées constantes.
On appelle limite d’une quantité variable x, une quantité fixe a dont les valeurs successives de la variable s’approchent indéfiniment, tellement que la différence x — a entre la variable et cette quantité fixe, prise en valeur absolue, finit par rester constamment plus petite qu’un nombre donné €, si petit qu’il soit, sans cependant se réduire définitivement à ZÉTO. |
Ainsi, soit » un nombre auquel on attribue toutes les valeurs entières successives, jusqu’à surpasser tout nombre donné ; le rapport den +7 à n aura pour limite l’unité, car la différence
sera constamment moindre qu’une fraction donnée € pour toutes les
