N |. DÉCOMPOSITION D'UNE FRACTION RATIONNELLE EN FRACTIONS SIMPLES

288. Soient f(x), F(x) deux fonctions entières de x, a une racine réelle de l'équation F (x) — 0, m son degré de multiplicité, en sorte que

(1) F(x) = (x — a)" Fi (x), F, (x) étant une nouvelle fonction entière de x qui ne s’annule plus pour x — 4. Posons, À désignant une constante qui ne pourra être infinie,

a a f(a) — AF, (a) — 0.

La fonction f(x) — AF; (x) s’annule donc pour x = a, elle est divisible par x — a; en d’autres termes, on a

f(x) — A (2) = (x — a) fi (a), fi (x) étant une fonction entière de x. Divisons les deux membres de cette équation par F (x) en ayant égard à l'équation (1), nous aurons (2) | ft) — RIRE era PMP) TES FG) Go Ta" Fi)

Il résulte de là ce théorème : La fonction rationnelle f(x) : F (x) est toujours décomposable en deux autres, l’une qui a pour numérateur une constante et pour dénominateur le facteur (x — a) élevé à la plus haute puissance à laquelle il entre dans le dénominateur F (x) ; l'autre qui a pour numérateur une fonction entière f, (& et pour dénominateur la

fonction F(x) dans laquelle l’exposant de (x — a) serait diminué d’une unilé. | |

Appliqué au dernier terme de l’équation (2), ce théorème permettra de le décomposer à son tour en deux autres, ct ainsi de suite, jusqu’à ce : que, l’exposant de x — a au diviseur s’abaissant chaque fois d’une unité, on arrive à une fraction dont le dénominateur ne contient plus ce facteur.

On aura donc ft) __ A Ami £ ,

(3) F(x) (x —— a)" mer (x — de ne IS amer NE A, A1, An étant des constantes dont aucune ne pourra être re et fm (x) une fonction entière de x.

Si a était une racine simple de l'équation F (x) — 0, m serait égal à l'unité, on aurait une seule fraction simple

Soit b une deuxième racine de F (x), # son degré de multiplicité; de sorte que (x) — (ù — a)" (x — 0) Fax), Fi(x) = (ù — 0)" Fe (a), F;(x) désignant encore une fonction entière.

On appliquera le théorème ci-dessus à la fraction rationnelle

MONET E Fix) (x — 6)" Fi(x)

et l’on aura

fm (x) (x) B B, : fin (@) Fi(x) (x—b} = Je Le lAre LOST NE MNT F; (x) |

F;(x) ne renfermant plus le facteur (x — b). On continuera cette série

d'opérations jusqu’à ce que l’on arrive à une fraction dont le dénominateur, ne renfermant plus aucune des racines de F(x), sera nécessairement une constante, c'est-à-dire à une fonction entière E (x) de x.

289. La méthode de décomposition qui vient d’être exposée s'applique de la même manière lorsque les racines a, b,... sont imaginaires, les propriétés sur lesquelles nous nous somines appuyé étant communes à ces racines et aux racines réelles. Les coefficients A, A:,... sont alors imaginaires en général, et des réductions ultérieures ramènent à des

expressions réelles. Mais si l’on veut obtenir immédiatement la décomposition en fractions simples sous forme réelle, on procédera comme il suit :

Soit x - Br une racine imaginaire de F (x), mn son degré de multiplicité. Les racines imaginaires étant conjuguées deux-à-deux(1), l'équation F(x) — o aura aussi m racines égales à & — ft; F (x) sera donc divisible par

(@ — a — fi" (@ — à + Bi)" = Lx — a) + 67”,

en sorte qu’on aura, quel que soit x, l'identité

(4) F(x) = [(œ — &)° + F1" Fi(x), F;(x) étant une fonction entière et réelle de x qui ne s’annulera plus pour x — à Æ fi. Posons

fa + Fi)

(5) Ma BD) N = EEE

Le second membre de cette égalité se réduira (7, 8) à une certaine expression imaginaire P + Qi qui ne pourra pas être infinie, et l'équation

Mo + fi) HN = P + Qi se décomposera en deux équations réelles Ma + N —P, MB — Q, qui détermineront pour M et N des valeurs toujours réelles et finies. L'équation (5), mise sous la forme

feu ++ Bi) — [M (a + Bi) N] Fi (e + Bi) = 0, montre que la fonction f(x) — (Mx + N) F;(x) s'annule pour x — « + (5, et comme elle est à coefficients réels, pour x = « — fi. Donc, pour toute valeur de x on a

fe) — (Max + N) Fi (œ) = [Qc — à) + F1 fi (œ), fi (x) étant une fonction entière et réelle de x. Divisons les deux membres Et F (x) et ayons égard à l'équation (4); il viendra f (@) (&) Mx SE N + f1 (x) Fa) Lee +er ea +éT RG D'où ce théorème, analogue au premier : La fraction rationnelle f(x) : F(x) sera décomposable en deux autres, une fraction simple dont le

(1) Nous supposons que F (x) ait ses coefficients réels,

numéraleur sera du premier degré en x et le dénominateur le facteur [(a — à)? + f5*?] élevé à la plus haute puissance à laquelle il entre dans: la fonction F (x); et une fraction ayant pour numérateur une fonction entière de x, pour dénominateur la fonction F (x) dans laquelle l’exposant de ce facteur sera diminué d’une unité.

Le dernier terme de l'équation (6), par ce même théorême, se décomposera en deux autres, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on arrive à une fraction dont le dénominateur se réduise à F; (x).

Combinant ce que nous venons d'établir avec ce qui a été démontré plus haut, on peut conclure que toute fraction rationnelle f(x) : F (x) sera décomposable 1° en une somme de fractions simples à coefficients réels, ayant pour numérateurs des constantes ou des fonctious du premier degré en x, et pour dénominateurs les facteurs réels du premier ou du second degré qui correspondent aux racines réelles ou imaginaires de F (r), élevés à des puissances égales ou inférieures à celles auxquelles ces facteurs entrent dans F (x); 2° en une partie entière E(x). Donc, connaissant les racines de l’équation F (x) — 0, on peut immédiatement écrire la formule de la décomposition, les constantes A, A;, ... M, N.. restant à déterminer.

La marche suivie pour établir ces propriétés pourrait servir à déterminer les coefficients, mais il est pour cela des procédés plus expéditifs.

290. Après avoir cherché les racines de l'équation F(x) = 0 et décomposé F (x) en ses facteurs réels du premier ou du second degré correspondant à ces racines, on posera la formule de décomposition suivant la nature et le degré de multiplicité des racines, comme on l’a dit plus haut. Multipliant ensuite par F(x) les deux membres de l'égalité, le premier se réduira à f (x); dans le second les dénominateurs des fractions simples disparaitront, puisqu'ils sont des diviseurs de F (x); ee second membre se réduira donc aussi à une fonction entière de x. On pourra alors procéder de deux manières :

1° Par la méthode des coefficients indéterminés. On ordonnera les deux membres suivant les puissances croissantes de x, et comme légalité doit avoir lieu quel que soit x, on égalera les coefficients des mêmes puissances de æ dans les deux membres. On aura ainsi une suite d’égalités, du premier degré par rapport à A, A:,... B, B;,... N,N:..., et toujours en nombre suffisant pour les déterminer, ainsi que E (x).

De là une conséquence importante : si le degré de f(x) est moindre

que celui de F (x), lu fonction entière E (x) sera nulle. Car, soit À le degré de F (x), f(x) étant, par hypothèse, de degré inférieur à À; les termes du second membre qui proviennent de la multiplication des fractions simples par F (x), seront aussi évidemment de degré inférieur à À. Au contraire, si E (x) n’était pas nul, le produit E (x) F (x) renfermerait au moins un terme de degré égal ou supérieur à À, irréductible avec tous les autres du second membre. Les deux membres de l'équation ne seraient pas de inême degré par rapport à x, ce qui est absurde.

Cette méthode, commode lorsque F (x) est d’un degré inférieur, conduit à des calculs complqués lorsque F (x) est de degré élevé ; la suivante est alors préférable.

2° Après avoir ramené, comme ci-dessus, les deux membres de l'équation à être des fonctions entières de x, supposons que l’on veuille déterminer les coefficients A, A:,... À,;, qui correspondent à une racine réelle a du degré m de multiplicité. Le second membre de l’égalité peut évidemment s’écrire sous la forme

(7) | f(x) —AF; (x) + Ai(x — a) Fi (x) + A2(x — a)? Fi (x) + Ans (x — a)! Fi (æ) + (& — a)" @ (x),

F, (x) étant toujours le quotient de F (x) par (x — a)" et © (x) une fonction entière de x, car la multiplication par F (x) doit introduire le facteur (x — a)” dans tous les termes qui n’ont pas (x — a) au diviseur.

L’équation (7) ayant lieu quel que soit x, faisons x — a. Les termes du second membre s’annulent sauf le premier, et l’on a

f(a) — AFi (a),

équation qui détermine A.

Dérivons les deux membres de l'équation (7) par rapport à x et faisons x — a. D’après la règle pour les dérivées successives d’un produit et pour celles de x”, on voit facilement que la dérivée d'ordre p de (x — a)" Fi (x) renfermera (x — a) en facteur si p <r et s’annulera pour x — a, mais sip > r,(x — a) ne sera plus facteur de cette dérivée. Donc, nous aurons

f’(a) = AF, (a) + A [D.(x — a) Fi (lo,

A étant connu, cette équation donnera A,. Prenons les dérivées secondes des deux membres de l’équation (7) et faisons x — a. D'après la remarque

ci-dessus, tout les termes du second membre s’annuleront à l'exception des trois premiers, et nous aurons

['' (a) —AF* (a) + A [D2. (x — a) Fa (x) a + A2[D°.(x— a)? FU)

ce qui donnera A; et ainsi de suite. Après » — 1 dérivations, suivies de l'hypothèse x = a, les coefficients A, A1, .…. An, seront déterminés, Il est inutile de développer les calculs sous forme générale ; il vaut mieux appliquer la méthode sur chaque cas particulier.

On remarquera que le dernier terme de l’équation (7), (x — a)" o(x), renfermant (x — a) à la puissance m, s’annulera pour x — «a après chaeune des %# — 1 dérivations. On n’a donc pas besoin d’en tenir compte dans ces calculs relatifs à la détermination des numérateurs qui correspondent à la racine a, ce qui abrègera le travail.

Si a est racine simple, l’équation

f (a) — AP: (a) suffit pour déterminer le numérateur de la seule fraction simple correspondante.

Mais la théorie des équations apprend que, dans ce cas, F; (x) se réduit pour x — a, à F’(a), et l’on a la formule commode (8) à 10) F' (a)

pour déterminer les cocfficients qui se rapportent aux racines simples.

294. Ce qui précède s’appliquerait aussi à la détermination des cocfficients correspondant aux racines imaginaires, mais si l’on veut faire la décomposition immédiatement sous la forme réelle, on déterminera les coefficients M,N, M1... ; par une voie analogue. Soit « + fr une racine imaginaire de F (x), m son ss de multiplicité, F; (x) le quotient de la division de F (x) par [(x -- «)? + B?]".

La formule générale de décomposition, après multiplication par F (x), donnera un résultat de la forme

o) | (fx) = (Max + N) Fi (x) + (Max + Ni) [(x — à)° + B?T Fi (x) + +

À Qt ur Nas) ({e — 0)? Fi (ur) {(e— a) pme), p(x) désignant une fonction entière de x. Si dans cette équation on pose x = à + fi, il viendra

fa 859 = [M (a 69) NIF: (a + Bi)

mt) =

équation imaginaire qui se décomposera en deux équations réelles, d’où l’on déduira M et N. Prenant les dérivées par rapport à x des deux membres de l'équation (9), puis faisant x — à +- fi, tous les termes du second membre s’annuleront sauf les deux premiers, comme renfermant [(x — x) + f?] en facteur, et l’on aura une équation pour déterminer M, N,; et ainsi de suite. Il suffit de m — 1 dérivations pour trouver tous les coefficients M et N, et il est inutile de tenir compte du terme final [(x — x)? + 6°?]" p (x), qui donnera zéro après chaque différentiation.

On voit, par cette méthode, que la décomposition sous la forme demandée ne peut se faire que d’une seule manière, car si les coefficients A,A:,... M,N,... admettaient plusieurs valeurs, le procédé que nous venons de suivre pour les déterminer devrait les donner toutes; or, chaque coefficient est donné par une équation du premier degré et n’admet qu’une seule valeur,

Lorsque l’équation F(x) — o n'a pas de racines égales, le moyen le plus rapide d’opérer la décomposition consiste à former SUN f(x) : F'(x), et à y faire successivement x — a, b, ..., x + fai, … numérateurs sont alors déterminés par les Ant

DPI née F” (a) US qui s'appliquent, que a,b,... soient réels ou imaginaires. Il suffira ensuite de réduire deux à deux les fractions imaginaires correspondant aux racines conjuguées pour obtenir la décomposition de f(x) : F (x) sous la forme réelle.

292. Supposons les racines de F (x), a, b, .… l, réelles et inégales, et f(x) de degré moindre que F (x). Done F (x) — SC (x — 1), HONOR F(x) x—a (

A, B, .. L étant constants. On a

F’ (a) = lim RCE) — (a — b)(a — €)... (a — L),

a=a X — 4 (Or mo f (a) | RADAR vif (O)e 1 À — Fa) — TETE STE et de même B— Tete

elc.

Substituant, multipliant par F(x) et réduisant, on obtient la formule

d'interpolation de Lagrange | (x — b}(x—c)...(x— 0) 7 (x —a)(x —c)... (x — 1)

SERRE EN RME er DOI EU b

= Gao. Eu. Ed (0 — 0)

(39) (x — a) Fa

1H rene)

qui sert à former une fonction entière de x connaissant les valeurs que prend cette fonction pour des valeurs données @, b, .… l de la variable, en nombre supérieur au degré de f(x).