Exemples. — L. Soit à décomposer

fie à rats ea

(x) — 28 Lx L’équation F(x) — o à une racine simple x — o, deux racines doubles x—1€tx—=— 1. Donc F(x) = à — 225 L x = x (x — 1}°(x + 1}.

On posera 25 x? + 2 B: C C PRET DE ee ARR MANS ATEN CUT a — 2x5 + x 1 (x+i)} x+i1 il n’y a pas de partie entière, f(x) étant de moindre degré que F(x). Chassant les dénominateurs, on a 5x2 A (x — 1)? (x + 1) + Bac + 1)? Bix (x — 1) (x + 1)? + Cx (x — 1) + Cix (x — 1) (x +1).

L'hypothèse x — 0 donne 2— A; x —1 donne 4 — 4B ou B— 1. Dérivant et faisant x —1, sans s'occuper des termes en (x— 1)°, on trouve

sh pal he

Enfin, posant x — — 1 dans l'équation ci-dessus, on trouve C=—71:2; puis, différentiant et faisant x — — 1, on aura TE 8C — 40, d'onl Ge.

N4 La formule cherchée est done x5 La? L 2 RES 3 : I 5 (x —

four à 4 s

PU 4@—1) 2wpi #w+i

ThBSUIE

IT. Soit encore

fx) x — 7] Fc) 25 — 2242 8x? — 12x 8 Les racines de F(x) sont x——2, x—1 + 1, racine double,

x = 1 — 1, double. Donc F(x)= (x + 2) [(x — 1) + if = (x Æ 2) (x? — 2x L 2}, et l’on devra poser, E(x) étant nul,

x5— 1 sk A se Mz+N dote Q$— 2x 8x —12x +8 2x2 (x—2x +2) a— 2x2

Multipliant les deux membres par F(x), il vient

1 A (at —20--2)" (Ma N)( 2) (Mia N)(a-2) (2% 20-10).

On détermine A en faisant x — — 2, d’où

— 9—100-À ou AN NE R

On fera ensuite x = 1 +1, ce qui donnera

(EH — 1 = (MN + Mi) (3 +5),

ou, en développant et séparant en deux équations réelles,

d’où M AN 10 5 Pour trouver M;,,N;, on dérivera l'équation ci-dessus et l’on fera x = 1 +2, en négligeant le terme A (x? — 2x + 2)?; on aura d'où l’on tirera M N—8M; —2Ni—0o, 2M + 4M; + 6N: — 6,

et en résolvant et substituant à M, N leurs valeurs,

Il suffira de porter ces valeurs dans l’équation (x) pour avoir la décomposition demandée.