S 2. INTÉGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES

294. Soit à intégrer o(x)dx, o(x) désignant une fonction rationnelle de x. Si cette fonction est entière, ou de la forme

p{x) — a + bx + ex? + + LE ke”,

les principes établis au ‘ee Rene donneront

patois = 00 EE RE 40:

Si o(x) est fractionnaire, on effectuera la division algébrique du -numérateur par le dénominateur, et l’on décomposera œ(x) en une partie entière E(x) [qui sera nulle si le numérateur est de degré moins élevé que le dénominateur]| et une partie fractionnaire f(x) : F(x) dans laquelle f(x) sera de degré moins élevé que F(x).

L'expression E(x)dx s'intègre sans difficulté comme on l’a vu plus haut. La fraction f(x) : F(x) se décomposera, par les méthodes exposées ci-dessus, en une somme de fractions simples qui appartiendront à l’une des quatre formes :

À A Mx + N Mz + N !

m—a (x—a)" (x — a)? + G?° [(xæ — 2) EG" a, à + fi désignant des racines de F (x); A, M, N des constantes. Or, on sait déjà (284) que A dx A dx A L = LT — 0 C, a ——————— , ( ET = 4 I. ( )+ (2) ere a)" (m— 1)(x — a)"—! + C

Pour intégrer les fractions de la 5"° forme, nous poserons 2—a4—f5z, d'où dr — fdz, et il viendra, par substitution et décomposition,

Mx + N d> = (ES Nate dz ere ane