FL
Remplaçant z par sa valeur et faisant rentrer — MI. 8 dans la constante C, nous aurons
Mx+N | & … X—0 9 = ad LE a)? + gr — arc tg —
De tg z + C.
Ho
La même substitution donnera, pour la quatrième forme,
Mx + N * TE M QE 2z dz + | dz rer ee per Vs
“ES M Ma Ma + N N dz EN 2 (nm — 1) [(x — a) + 27" “ReaTere EE ca ee + z?)"
Le calcul de cette dernière intégrale se fait par une méthode de réduction. On a
LUE 0e 6 mom CS ï LEUR le Ste ee) “ (I —+ Ra} ( + Fi hr } (x + z?}"
Mais, en intégrant par partie, on obtient
zdz Fier SET - sL I dz a ee mer ee dass
et la substitution de cette valeur dans l'équation précédente donne
dz z 2M — 3 dz (4) Rene —+ 7} — (am—2)( Eat te LE gp
L'intégrale est ramenée à une autre de même forme, mais l’exposant m est abaissé d’une unité. En changeant dans la formule (4) m en m— 1, on fera dépendre la nouvelle intégrale d’une troisième où m sera remplacé par m—2, et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’on arrive, m étant entier, à
dz Éner arc tg £ +
Cette dernière, étant connue, fera connaitre toutes les précédentes, en sorte que l’intégrale (4) doit être regardée comme connue, pour toute valeur entière et positive de m. En y remplaçant z par sa valeur en x, on aura l'intégrale de la quatrième expression. I] suit de là que
L'intégrale d'une différentielle rationnelle par rapport à x peut. toujours être obtenue au moyen d’un nombre limité de termes ne renfer-
mant que des fonctions rationnelles, des logarithmes ou des arcs de cercle.
Exercices.
A) Déduire, du cas où F (x) n’a que des racines simples, uue formule générale pour
décomposer f(x) : F(x) en fractions simples dans le cas de racines multiples (Hermire, Annales de la Soc. Scient. de Bruxelles, t. IT).
R. Supposons d’abord F (x) — (x — a) (x — b) ... (x — 7). On sait (294) que l’on a
F(xæ) x—aF'(a)
U désignant une somme de termes dont aucun ne renferme æ — a en diviseur. L’équation (x} étant vraie quelles que soient les valeurs de a, b,... l, si l’on dérive les deux membres « fois par rapport à a, 8 fois par rapport à b..., on aura encore une équation exacte. En posant 1,2... 4 —x!, le résultat des opérations indiquées sera, sur le premier membre.
«lg! )!f(œ) (ae — a)}%+1 (x — b)B+ (x — L)AF D'autre part, comme on a F'(a) — (a — b) (a — c)... (a — l), le résultat des dérivations par rapport à b, c,.. { sur le second membre sera, quant au premier terme, f(a) | Style Ah Sn) æ —a (a —0)5tt (a — ec)... (a — L)XH PP nr (a) désignant le quotient de f(a) par (a — b}ÊË+1 (a —1)1+1, Il reste à dériver x fois par rapport à a. D’après la règle de Leibnitz (#3) on a
x! »'(a) æ!£''(a) al g% (a) D* (a) ! g (a) Fa 7 5e PSE LES Ca 50 Sd Ù GE SENS (@œ — a):t! a I PV à . 2 (x — a)*T! 10 AT T— 4 Egalant les dérivées indiquées des deux membres de (x), et simplifiant, on a f(&) HAx TA) ?' (a) ?” (a) (x — a}ett. (æ — 1) (x — a)xt! Nr CV 1.2 (x — a)! a 1 g"(a) | Le } ar DÉPADAU
Ce dernier terme n’en renfermant aucun qui ait (æ — a) en diviseur, la somme des autres termes représente l’ensemble des fractions simples qui correspondent au facteur (æ — a)*T! du dénominateur du premier membre. Les fractions correspondant aux racines multiples b, .… { se détermineraient de la même manière.
B) Trouver les valeurs des intégrales suivantes :
"1 Em ve R. LES) Grise à xt — 52° + 4 sas) (te 2) dx I I æ—1 2. ES R. SAP : +-C.
20 — 5x5 + 1 a ESS TE e (ar (er — 30e
R. AGE REX (x* + ter mu
