INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES IRRATIONNELLES

295. L'intégration des différentielles algébriques irrationnelles, dans le petit nombre de cas où elle est possible au moyen des fonctions élémentaires admises jusqu'ici, s'effectue généralement par l’un des procédés suivants : 4° ou bien l’on rend rationnelle l’expression donnée, par une substitution de variables, ce qui ramène au cas du Ch. XXIX; 2° ou bien l’on fait dépendre, au moyen de l'intégration par partie, l'intégrale cherchée d’une autre plus simple, celle-ci d’une autre plus simple, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on arrive À une intégrale connue. Appliquons d’abord la première méthode.

Supposons que f(x) soit une fonction rationnelle des quantités x, x, x, .…., D, Q.. Étant fractionnaires. Désignons par p le plus petit multiple des dénominateurs de p, q …, et faisons

RSA I TARN Le

Up, 19, étant entiers, x?, «7, seront rationnels en z, ainsi que dx, donc f(x) dx deviendra rationnel en z et pourra s'intégrer par les

méthodes exposées plus haut, On substituera ensuite à z sa valeur x”.

Si f(x) était une fonction rationnelle de x, (a bx}?, (a + bx}1,.… on poserait de même a + bx — 7" et l’on rendrait la différentielle rationnelle. De même encore si f(x) renfermait des puissances fractionnaires de l’expression

a + bx

Exemples :

FE Er teb] +0

1 + x RP OR NT EN TE TE EE É el ÉPRTIE U à 1 + x" 1—2z+72? 12 27 — 1 142 — 2 AO TE 0) AT CA rte 7e 3

| x dx 2 Er à LT e 1 | a 2 (1 + 2 0 x) 1É - 7

F6 + +3lu c.

296. Différentielles renfermant laracine carrée d’un trinôme du second degré. —Soit à intégrer une expression de la forme f(x, y) dx, f désignant une fonction rationnelle de x et de y, ct y le radical p/A—-BxCa?, où A, B, C sont des constantes. On peut supposer C — Æ 1, il suffit de diviser sous le radical par la valeur absolue de C. Nous poserons donc simplement

y =V'a+bx + x, a et b ayant des signes quelconques.

1 cas : y—y/a+bx Kat. — Désignons par z une nouvelle variable et posons y—=z—x, d'où a—bx— 7 — 2x2, et en différentiant, z?— a 2(z— x dr Dur rate

b+2z Dep

bdx — 22dz — 2xdz — 2:dx, x =

x étant fonction rationnelle de z, si l’on substitue à x sa valeur dans les expressions de dx et de y, on trouvera les fonctions rationnelles de z Rs TèrEe)s e Z+br+a

Donc f(x, y)dx sera rendu rationnel et s’intégrera. On remplacera z

par sa valeur = à + y'a + bx + »?.

2e cas : y—=V/a+bx —x?. — L'équation x? — bx — a — 0 doit avoir ses racines « et 5 réclles, sans quoi y serait imaginaire pour toute valeur de x, et de plus, x devra varier dans l'intervalle (x, 5) compris entre les racines. On posera

y=Va+bx—a=p(x— 0) (6— x) —( d’où l’on tirera successivement

B—x—(x—a)z, —dx— 2? dx + 2(x — a) zdz, B+ az? | 2(x — a)zdz

, dx = — ———— TH 1 +?

x, dx, y s’exprimeront rationnellement en z, et par suite f(x, y) dx. Après l'intégration, on remplacera z par sa valeur