NE

La même transformation s'applique au premier cas lorsque le trinôme e sous le radical a ses racines réelles.

9e cas :y—=ya—bx Has, a > o. — On posera y=Va+xz,

d’où, élevant au carré et réduisant,

b+rx—2zv/atxz, x ———— \,

Es dz E dx — z°dx + 2 (/a Lxz) dz, dx = E(PCREONE ° RE x étant rationnel en z, il en sera de même de dx, y, et de f(x, y) dx.

On aura ensuite | V' a + bx + x — a

La

29%. Prenons comme exemple de la première transformation

nn

On a immédiatement

donc

dx É ENTE) À —ll-—+x b ? C.

Ps SRE + ya + x + x SE En particulier, si b — 0, a — «?,

a ua ———— |L + pa + x!) ne V/a + x°

De même, la seconde transformation donnerait

dx (5 2dz /=+ —— — — 2 arc tg V'a + bx — 7 1 +2 Mais cette intégrale s’obtient sous une forme plus eommode si lon écrit — b — arc sin

dx ne dx RÉ PR Mere) or

d’après la formule connue

dz DAY

( ——— arc sin — + C.

/a? nr œ

Cela suppose b? + 4a > o. Si cette quantité était négative, a + bx — x?

serait toujours négatif et il n’y aurait plus lieu de chercher une intégrale

réelle.

Comme exemple de la troisième transformation, soit

LPC V'ax — x?

» m entier et > o.

On fera —— x"dx V/ax —%—%z, d'où { Do a ME ns | ax —% er

On est ramené à l'intégrale traitée au n° 288, et qui est connue, On remplacera ensuite z par sa valeur

ax — »°

V4 Exercices.

eg CE Vitatt (@+Vi tant 1. fe +vrrs He one LC 2. mr et 4 {+ax)Vita— x æ , dx nn: a SES ES I RTE 8. = (Vita + pi —e)+ SL (x+ Vi + a De ei on © “.

—- arc sin x + C.

a Ja + 8) Vatoe pr EN ERE à ç, si ap? + be —=k>0o, I ? aB — bax ; — = QC Sin —" "+ C, si ag +bat——k<o, (+ Bab

£ Pire * : 2 ee N/ ES re si -a8—+-ba« — 0.

298. Supposons que, dans la différentielle f (x, y) dx, x et y soient liés par une équation algébrique de degré n, F (x, y) — 0. Si l’on peut exprimer x et y rationnellement au moyen d’une même variable f,

EN 4 (t), bars ÿ (&), dx — (0 (1) di, il est clair que cette substitution rendra rationnelle la différentielle proposée. Ainsi, l'équation

F (x, y) = y° + à«° — 3axy — 0

fournirait pour y une valeur assez compliquée qui ne permettrait pas l'intégration de f(x, y) dx ; mais si l’on fait y — {x, on en déduit

3 at 3 al?

2 UT p 1H 1 +1

et x, y sont des fonctions rationnelles de £. La théorie générale de cette transformation est liée à celle des courbes

as , —

unicursales. On appelle ainsi toute courbe dont les coordonnées x ety peuvent s'exprimer rationnellement en fonction d’une même variable f. Nous nous bornerons ici à établir que, si la courbe algébrique (A) de degré n, F (x, y) — 0, admet £(n — 1)(n — 2) points doubles, [en d’autres termes si le système F — 0, F;, — 0, F; — o admet + (n — 1) (n — 2) solutions réelles ou imaginaires], à sera possible d’exprimer x el y en fonctions rationnelles d’une variable t.

Prenons une courbe

(B) 1 ax + by + cr? LE dxy Hey? +... = 0o de degré n — 2, renfermant dans son équation À (n + 1)(n — 2) para-. mètres arbitraires a, b,c .. que nous pourrons déterminer en assujettissant la courbe (B) à passer par des points donnés (x, y), (A2, y), .…, ce qui fournira les équations

1 + ax + by + ex ++ 0, (x) 1.—- axe + bye L ex2-+ +. — 0,

pour déterminer a, b, ce, ..… Si le nombre des points donnés est seulement S(n—r)(n — 2) — 71, il restera un coefficient arbitraire que nous appellerons {, et en vertu des équations (x) tous les autres s’exprimeront en fonction linéaire de celui-là, en sorte que les courbes (B) passant par les points donnés seront comprises dans l'équation M N/— 0, MetN étant des fonctions entières de degré n — 2 en x et y. Cette équation représente donc, par la variation du paramètre {, un faisceau de courbes de l’ordre n — 2 qui ont £(n H 1)(n — 2) — 1 points communs.

. Choisissons pour les points fixes (xs, ya), (x2, y2), .… les ?(n — 1) (nr — 2) points doubles de la courbe (A), et comme on a

o(n+i)(n—2)—1—=£%$(n — 1)(n — 2) +(n — 3), il faudra y joindre x — 3 autres points simples (x’, y’), (x', y’), … de la

courbe (A) pour la détermination du faisceau M + Nt— 0. Mais, d'autre part, une courbe (A) de degré # et une courbe (B) de degré n — 2 ont n (n — 2) points d’intersection réels ou imaginaires, et comme ici chaque point double de (A) compte pour deux points simples, la Souroe (A) est coupée par une courbe (B) du faisceau en

(n— 1)(n —2)+n—3—n(n—2)—1 points fixes ; il reste donc un point d’intersection variable avec (B), c'est-à-dire avec le paramètre {, Cherchons à exprimer les coordonnées de ce point en fonction de t{. Pour cela, éliminons y entre les équations F(x, y) = 0,M<+Nt— 0; nous obtiendrons un résultat de la forme

x" + px"! + qare + == O0,

m étant égal à n (n — 2), et p, q, .… étant, d’après les règles de l’élimination, des fonctions rationnelles de {. Or, cette équation doit admettre les racines doubles x = x1, x — %2, … et les racines simples x = x’, &æ —= x”, 5; son premier membre est donc divisible par le facteur

qui est de degré n (n — 2) — 1, et donne un quotient du premier degré

Kx +L= 0, K, L étant toujours des fonctions rationnelles de t. On aura donc L ; L’ eV? et de même RTE Te AU)

par exprimer les coordonnées d’un point quelconque de (A) en fonction rationnelle de £.

Une conique est toujours unicursale, car on a ici n—2,(n —1) (n — 2) — 0, la condition est vérifiée. L'application de la transformation, qui donnerait une autre solution du problème du n° 296, se comprendra par le cas suivant.

Considérons une courbe du troisième ordre,

F(æ,y)=S + A By + Can? + Day + By? + Fa ce I —

Icin—3,${(n —1)(n —2)—= 1, la courbe doit avoir un point double (comme le folium considéré plus haut) pour être unicursale. Admettons qu’il en soit ainsi, et que, pour plus de simplicité, on ait par un changement de coordonnées placé Porigine en ce point. L'équation F — 0 devant être vérifiée, ainsi que ses dérivées

F, = À + 2Cx + Dy + 3Fx° + 2Gxy + Hy? — 0

F, — B+ Dx + 2Ey + Gx° + 2Hxy + 31y° = 0, par les valeurs x—0,y=—0, on aura nécessairement S — 0, À — 0, B — o, l'équation (A) sc réduira donc à la forme

Cr — Dxy + Ey° + Fr — Gx°?y + Hxy° + [y — 0, et en coupant la courbe par un faisceau de droites passant par l’origine, ou en posant y —{x, on en déduira immédiatement

(C + De + EE?) a? EF Æ Ge + HE? 15) x5 = 0, d’où | CL DI+E# VA Ci + DEL Er FE Gi EH EU NO Fe CEA ITS ce qui effectue la transformation désirée.

299. Parmi les expressions différentielles irrationnelles, les plus importantes à considérer sont celles qui renferment un radical de la

forme VX, X étant un polynôme du 4° degré en x. Prenons d’abord l'intégrale |

Ah

dx

les racines a, b, c, d étant réelles ou imaginaires, et proposons-nous de ramener le radical à ne plus renfermer que des termes de degré pair, par une substitution de la forme

LA L — X RU rEl ” Md'oU , 1+ 4 X — q les constantes p et q étant réelles. Comme à chaque valeur de x qui annule X correspond une valeur de t jouissant de la même propriété, et

que ces valeurs de t doivent être deux-à-deux égales et de signes con- : traires, On aura

P,55, 0 PNCAND CONTI Re p — d a— QU ND ESC EE

ou (a +6) (p+ 9) — 2pq — 2ab— 0, (ce + d)(p + q) — 2pq -— 26d — 0, ou encore, en posant p+q—g, pq —=h,

(a+b)g—2(ab+h), (c+d)g—2(d+h).

Résolvant par rapport à g, h, on a, en Li PROSEN que GHb—c—14d soit différent de zéro,

__ 2(ab —cd) p — (CH d) — cd (a + b)

Mob cd a tbe —d

Mais p, q devant être réels, il faut que g, h le soient. Cette condition sera remplie, évidemment, si les racines a, b, c, d sont réelles. Si deux racines sont imaginaires, on les choisira pour a et b, ct comme les expressions de g et de À ne renferment que la somme et le produit de ces racines conjuguées, g et k seront réels (2, 4°). Si les quatre racines sont imaginaires, « et b seront conjuguées, c et d de même, € et le même raisonnement conduira à la même conclusion.

Mais il faut encore que p et q soient réels. Or, p et q sont les racines de l’équation en &

C? — gG —+- h=— O;, d’où la condition y? — 4h > o. Remplaçant g et h par leurs valeurs, on a, en divisant par 4 et observant que le dénominateur (a+-b — c— d) est positif, (ab — cd)? — [ab (c + d) — cd (a + b)] (a db — c — d) > o.

On voit sans peine que le premier membre se réduirait à zéro pour a=c,a—d, b—c, b — d, il est donc divisible par les facteurs a — c, a— d,b—c,b—d, et comme le coefficient du terme a? b? est + 7, l'inégalité se réduit simplement à

Considérons encore les trois cas : 1° si les racines sont réelles, il suffit de les ranger dans l’ordre a > b > c > d, pour que la condition précédente soit remplie; 2° si l’on a deux racines imaginaires, soient

a—œ af, b—a— fi, (a —c)(b — c) sera le produit de deux imaginaires conjuguées et sera positif; de même (a—d) (b—d); 3° si les qnatre racines sont imaginaires, a— af, b—0— fr, De d= y— di, on aura

(a—c\b—d)=[a—y+(B—0)ia—y—(B—0)i]=(2—7y)+(6 —0)

et de même (a— d)(b—c) = (a —3} ++ > 0, done l'inégalité sera encore vérifice. La substitution est donc toujours possible, et en l’effectuant, on aura un résultat de la forme de (g — p) di

a’,b',a/',b'’, étant réels. Des transformations ultérieures ramènent la fonction sous le radical à la forme (1 — {?)(1 — k°t?), et l'intégrale à la forme classique des intégrales dites elliptiques, qui ne peuvent s'exprimer au moyen des fonctions élémentaires. Mais la théorie des fonctions elliptiques, qui sont les inverses de ces intégrales, fournit des méthodes plus commodes pour la solution de ce problème, et nous ne nous y arréterons pas.

L'hypothèse a + b — c — d — 0 que nous avons écartée, rend impossible la transformation précédente, mais on peut alors poser

tte +,

et l’on trouve

(e — a)(x — b)(x — c)(x — d) = E ( = : j Le = (' = ‘) |

ce qui réalise immédiatement la transformation désirée.

300. Une différentielle f(x, V/X) dx, f désignant une fonction rationnelle de x et p/X, étant donnée, on ramènera évidemment la fonction f, les puissances paires de /X étant rationnelles, à la forme.

__G+Hyx es X.

Get H étant rationnels et entiers en x. On aura donc