RENE G—H/X

Met N étant aussi rationnels. L'intégrale { M dx s’obtiendra sans difficulté, la fonction rationnelle NX se décomposera en une fonction entière et une somme de fractions simples par la méthode exposée au chapitre précédent. On sera donc, en définitive, ramené à intégrer des expression

de la forme dx x" dx dx

VX VX (@—yyX

m, p, étant entiers, et par des réductions successives, on ramène tous les CAS à M — 2, p —1I.

301. Différentielles binômes. — On donne ce nom aux expressions de la forme

(1) x" (a + bx")r dx m, n, p étant des nombres entiers ou fractionnaires de signes quelconques.

Sim, n, p étaient entiers, on retomberait sur une expression rationnelle. Ce cas étant écarté, on peut toujours poser

= 7, d'où T—72",)ldr—-2" «is, n et : m+l, &" (a + bx"ÿ dx —-27 " (a+ bz} dz.

On posera

TEE

et l’on voit que l'intégrale d’une différentielle binôme pourra toujours être ramenéc à la forme

(2) [as (a + bx}? dx — B,,5.

On peut l'écrire aussi (ar (" Ses ) dx.

. Done, si p est entier, ou q, ou p + q, on rentrera dans un des cas d’irrationnalité étudiés au n° 295 et l’intégration s'effectuera par substitution. On en conclut que la différentielle binôme 2" (a + bx"} dx s’intêgre si l’un des nombres

mi m+np—+i OT F* 4 À est entier ou nul, quel que soit son signe.

Exemples :

x dx

ELLE Re & (a bx®)* 3a(a + bx°)°

30%. Appliquons maintenant la méthode des réductions successives, en prenant pour exemple l'intégrale suivante, qui rentre dans les intégrales binômes :

» menticr.

En observant que

on a, par l'intégration par partie,

x” dx PRET PSE = — pm! /1 — x? + (m—1) fa: dx VÆ: — %° I — X°

m—2 L role = — gi V’ I nl —— 1 — x

Décomposant cette dernière intégrale, on y retrouve la proposée que l'on fait passer dans le premier membre, et en divisant par mon a

G) x"dx SH à /1 — x° % m—1f x" {dx 3 = ———————— D ——— | ——.

/1— x? me MATE Cette formule de réduction permet d'abaisser de deux, quatre,… unités l’exposant de x, et si m est positif et pair, on sera ramené à l'intégrale | ( x°?dx mi + ( dx V’1—x° = 2 J/1— x?

Si m est impair, on arrivera à

cn 1 —x%? + C.

Sim était entier et négatif, il faudrait disposer la formule (3) de

= — 1 . - arcsinx+C.

manière à élever l’exposant de x de deux unités. Pour cela, résolvons l'équation par rapport à l'intégrale du second membre et changeons m en — m2, il viendra

dx 1 — x? M2 dx (4) (—— AN ee — + — — a" /1 — (m—1)x Lo CE PA ET

Au moyen de cette formule, on abaissera d’autant de fois deux unités

qu’on le voudra l’exposant de x au dénominateur, et l’on sera ramené 1° Si m est pair, à dx 1 — x?

Fi — — re + C; L? V/1 — y? x

2° Si m est impair, à l'intégrale

dx

Re er

à laquelle la formule (4) ne s’applique plus et que nous chercherons directement par la troisième non (296). Nous aurons

303. Appliquons la même méthode aux différentielles binômes, ramenées à la forme (2). L’équation

fat (a + bx)? dx — [at (a + bx) (a + bx)?7t dx

donne immédiatement, par décomposition, la relation (5) Bp,a = aBp 1,9 + 0Bp 1,44

D'autre part l'intégration par partie donne

g+1 bx)r b (= (a + bx)? D el ne (ant (a + bx)r=! dx, qa+i q+i

d’où la relation (6) (q +1) Ba = at (a + dx)? — bp Bo ,q11

Entre les relations (5) et (6), on peut éliminer, soit B,, ,41, soit B, », et l’on trouve ainsi les deux équations

(7) (b+q +1) B,4 = 2ttt (a + dx)? + ap B,1,0, bp+qg +) Boson = at (a + x) —- a (g + 1) Br,

dont la seconde devient, en remplaçant p par p + 1 et q par g — 1.

(8) bp + q +1) Ba = xt (a + bx)Pt! — ag B,, 9-1.

Chacune des formules (7) et (8) établit donc une relation entre deux inté-

“grales B,,, dans lesquelles l'indice p ou l'indice q diffère d’une unité. Elles permettront donc d'augmenter ou de diminuer d’autant d’unités

qu'on le voudra, suivant son signe, chacun des LE pet q, et pig

suite de le ramener à une valeur absolue inférieure à l’unité.

Exercices.

: x" dx a! V1 — x sh 28 om ES x"—2dx , BETA VT ta x°"dx me N x? 1 x?n—$5 2 ( Daid EVE 2Sn—3 (1— 2°) * (2n—1)(1—a°) * (2n—3)(1—2*) * g2n—5 4 F NET anale re UC SIT CS (2n—5)(1—2°) *? (1 —2°)°