ACTES

valeurs de # au-dessus d’un nombre déterminé, mais ne sera jamais rigoureusement nulle. |

De même, la somme des n premiers termes de la suite indéfinie

a pour limite l’unité quand croit indéfiniment, car on reconnaît sans peine qu’elle diffère de l’unité d’une fraction 1 : 2" qui finit par devenir cet rester moindre qu’une fraction donnée €.

De même encore, la fraction 9 : 11 est la limite de la fraction décimale périodique 0,81818: .….; un nombre irrationnel q peut être considéré, en vertu de sa définition même, comme la limite des nombres rationnels &, a+, ..., 4 .. Où des nombres b:, b:, .…., b,, … qui en fournissent des valeurs indéfiniment approchées; en géométrie, l’aire du cercle est la limite de l'aire d’un polygone régulier inscrit dont le nombre des côtés croit indéfiniment, etc. à

La limite d’une quantité variable s’indique par le symbole lim placé devant celle-ci. Ainsi on écrira

ou mieux, :

lim T1 red,

47. Il importe d'observer qu’une variable ne doit pas s'approcher constamment de sa limite, elle peut s’en approcher et s’en éloigner alternativement, et même l'atteindre un nombre indéfini de fois. Soit, par exemple,

a et « étant des constantes données, n un nombre entier indéfiniment croissant. Pour n —0, 1,2, 3,... les valeurs successives de x sont

œ œ aa, A——3; 4, QH—s A, A——» +; 4 16

la différence x — a est donc alternativement positive, nulle, négative, ete.…, et pourtant x a pour limite «. Le caractère essentiel de la limite est en effet vérifié, puisque la différence absolue x — a finit pour rester

constamment plus petite qu’une fraction donnée €, quelque petite qu’elle soit, pour toutes les valeurs de » surpassant un certain nombre. 18. Principes de la théorie des limites. — I. Soit

Uis Uo, ..) Un, .…

une suite indéfinie de quantités, convergeant vers une limite déterminée u. La différence u»,, — un aura pour limite zéro, lorsque re croitra indéfiniment, p restant arbitraire.

Lorsque n croît indéfiniment, les différences w, — w, u,,, — u ont pour limite zéro, d’après la définition de la limite; par suite

Unip — Un = (Unip — U) — (Ur — U) a aussi pour limite zéro.

1. Réciproquement, s2 la différence u»;p — un à pour limite zéro lorsque n croît indéfiniment, pour toute valeur de p, le terme général u, tend vers une limite déterminée u.

A) Soit, en effet, € une fraction déterminée, choisie aussi petite qu’on le veut. D’après le sens du mot limite tel que nous l'avons précisé, on

pourra trouver un nombre k suffisamment grand pour que, pour toute valeur de n => k, on ait

VA (np — Un) < £,

quel que soit p, de sorte que Ux44, Uryas «ee, Uns so) Unips see SETONT COMpris entre ux — € et ux ke, c’est-à-dire entre deux quantités fixes, et d’ailleurs aussi voisines qu’on le veut l’une de l’autre, puisque € est arbitrairement petit.

B) Cela admis, prenons un nombre fixe qg compris dans cet intervalle (ux — €, ux €) égal à 2:. Nous pouvons faire décroître cet intervalle 2e autant que nous le voulons, pourvu que nous prenions le nombre correspondant k assez grand, et deux hypothèses seules sont possibles :

1° Ou bien, si petit que soit € et si grand que soit k, q fera toujours partie de l'intervalle indéfiniment décroissant ; donc la différence VA (u: — q) sera toujours moindre que 2e pour n > k, et par suite w, aura pour limite le nombre fixe g quand n croiîtra indéfiniment; done u == Q:

2° Ou bien, on pourra prendre € assez petit et £ assez grand pour que q cesse d’être compris entre les valeurs ux — € et #7 H-€e. Dans ce cas, d’après A), w, restant toujours compris pour n > k entre ux — € et ux HE,

c'est-à-dire entre deux valeurs fixes dont la. plus rapprochée de q en diffère d’un nombre déterminé 9, la différence absolue entre ", et q sera supérieure à d pour toute valeur de n > k.

Pour que cette seconde hypothèse se réalisât pour tout nombre fixe q compris dans l'intervalle primitif 2e, comme le raisonnement s'applique à chacun de ces nombres, il faudrait donc que w, finit par différer constamment d’une quantité supérieure à un nombre déterminé, de toute valeur comprise dans un intervalle fixe dans lequel w, doit rester lui

même toujours compris, ce qui est impossible. 49. — III. Si les termes us, us, .….u,, .… forment une suite indéfinie

loujours croissante, sans pouvoir jamais surpasser un nombre fixe À, u, tend vers une limite égale ou inférieure à A lorsque n croît indéfiniment Soit WU LUo LUz oo Uno,

en sorte que la différence w,,, — u. soit toujours positive ou nulle pour toute valeur de # et de p. Deux cas seulement sont possibles : 4° Ou bien la différence w,,, — w, aura pour limite zéro, quel que soit p, lorsque n croîtra indéfiniment. Dans ce cas #, aura une limite qui ne pourra surpasser A, d’après le théorème IT. |

2° Ou bien w,:7 —— Ur ne tendra pas vers la limite zéro, et comme cette différence est nécessairement positive. il existera un nombre positif e’ tel que, si grand que soit #, la différence u,,, — u, surpassera €’ pour une valeur suffisamment grande de p. En effet, si cela n’était pas, Uryp — Un finirait par être constamment moindre que toute fraction donnée, quelque valeur qu’on attribue à p. On aura donc, en désignant par n, ñ1, No, .…, n>, des nombres entiers croissants convenablement choisis, ;

Un, ET Un > ce Uno Mere 4 Un, = ea CT Un, SE Un, s > ie

. et par suite Un, er Un we: pe”.

La différence u,, — u, surpasserait done ps”, et comme le nombre p est arbitrairement grand, cette différence pourrait surpasser tout nombre donné, par conséquent la limite assignée À, ce qui est contre l’hypothèse.

Le second cas étant impossible, le théorème est démontré. On prouverait de même que st la suttew, u2, ..…., un, .… est constamment décroissante sans qu'un: terme quelconque puisse devenir moindre qu’une quantité

donnée À, le terme général u, tendra, pour des valeurs indéfiniment croissantes de n, vers une limite supérieure ou égale à A. Corollaire. — Si, dans la suite indéfinie (u) de quantités croissantes ou

décroissantes U:, Uo; ..…, Un) se

à chaque terme u, correspond un terme un;# à partir duquel tous les termes surpassent un, le terme général u, croit indéfiniment ou tend vers une limite lorsque n croit indéfiniment.

Il résulte de l’hypothèse que l’on peut prendre, dans la suite proposée, une suite indéfinie (v) de termes toujours croissants, que nous désignerons par Day V9, .., Um, «+ En SOrte qu'après un terme quelconque de l’une des deux suites (x), (v) il en existe une infinité appartenant à l’autre suite.

D’après le théorème 111, le terme général v,, de la seconde suite croît indéfiniment ou tend vers une limite fixe L. Dans le premier cas, il existe un terme v, qui surpasse tout nombre donné G, si grand qu’il soit; et comme tous les termes de la suite (u), à partir d’un certain terme uw», surpassent v», ils surpassent G; la suite w,, +, .… est indéfiniment croissante.

Dans le second cas, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite (v) restent compris entre Let L — €, € étant une quantité positive arbitrairement petite. Donc, à partir d’une valeur de n suffisamment grande, tous les termes w, de la suite (u) seront moindres que L, puisqu’il sont surpassés par des termes de la suite (v) qui sont inférieurs à L ; et ils seront supérieurs à L — €, puisqu'à tout terme v, de la suite (v) correspond un terme #, de la série (u) à partir duquel on a constamment Urip > Um. Les termes de la suite (u) finissent donc par rester compris entre L et L— £ et ont pour limite L.

20. — IV. Deux quantilés variables x et y assujetties à rester constamment égales entr’elles, tendent nécessairement vers des limites égales, car si a est la limite de x, y — a — x — a a pour limite zéro. Autrement : Une même quantité variable ne peut tendre en même temps vers deux limites distinctes. |

V. Lorsqu'une quantité variable z reste toujours comprise entre deux autres x et y, et que celles-ci ont une même limite a, z a aussi pour limite a; car la différence z — a est toujours comprise entre x — a et y — a; elle deviendra donc, en même temps que celles-ci, numériquement inférieure à toute fraction donnée.

LÉO re

21. — VI, La limite de la somme de deux ou de plusieurs variables %, Y; Z; .., Qui ont respectivement pour limites des quantités déterminées a, b, e, … est la somme des limites a, b, c, ... de ces variables. — La limite de la différence x — y de deux variables, est la différence a — b de leurs limites. — La limite du produit xyz... de plusieurs variables est le produit abc... de leurs limites, ce qui s'étend de soimême à la limite de la puissance n*”€ d’une variable. — La limite du rapport x: y de deux variables x et y qui ont respectivement pour limites u et b est égale au rapport a : b de ces limites, pourvu que b soit différent de zéro.

Toutes ces propositions se démontrent facilement ; nous prendrous comme exemple la dernière. On a, par hypothèse,

bo;

limr= a. .limy=t0 MP ONT TAN donc | x—ata, y—=b+6f, « et 6 étant des quantités qui ont pour limite zéro. On a donc, puisque b

n’est pas nul, Lau aie dar bar-a0

y 5 b+E 0 bG+D Puisque « et G tendent simultanément ver la limite zéro, A (bx — af) finira par rester constamment plus petit qu’une fraction donnée quelconque €. D'autre part, b(b + G) ayant pour limite b?, le dénominateur finira par surpasser constamment un nombre fixe k convenablement choisi. Le quotient finira donc par être toujours, en valeur absolue, plus petit que € : h, c’est-à-dire qu’une fraction arbitrairement petite. La

différence TR

1) PE aura donc pour limite zéro, C. Q.F. D.

On conclut des propriétés ci-dessus que la limite du quotient de deux polynômes dont les termes sont des produits de puissances entières de variables x, y, z, :, .…. s'obtient en remplaçant simplement chaque variable par sa limite a, b, c, .… sauf dans le cas où ces substitutions vendraient 1c dénominateur égal à zéro.

22. Méthode des limites. — Pour trouver les relations qui existent entre certaines grandeurs analytiques, géométriques, etc., que l’on ne

MIECYRES

saurait comparer directement entr’elles, on les considère comme limites d’autres grandeurs variables de nature plus simple, entre lesquelles il est plus facile d'établir la relation. Cette relation s’exprimera par une équation dont les deux membres seront des sommes, des produits, des quotients, des puissances, ctc., de ces quantités variables, et en vertu des propriétés rappelées ci-dessus (IV et VI), l'égalité ne cessera pas de subsister lorsqu'on y remplacera chaque variable par sa limite. On aura ainsi une relation entre ces limites, c’est-à-dire entre les grandeurs mêmes que l’on voulait comparer.

Supposons, par exemple, que l’on cherche une relation entre le volume V, la hauteur h et le base B d’un cône circulaire droit. Inscrivons dans le cercle, base du cône, un polygone régulier d’un nombre x de côtés; soient B’ l’aire de ce polygone, V’ le volume de la pyramide qui a même sommet que le cône. On sait, par voie directe, établir l'égalité