Mm + 2n

2k 2i4,..0n sin" x COS GX = ——— — \, { (mi + 1) (mm + 3)...(m Han + 1) (siutnt: x cos" zx — LL Re PAT MR EME * 0 (n + 1)(n + 3)...(2m + n + 1)

321. La formule (6) du N° 810 facilite souvent l'évaluation des intégrales définies. Soit à chercher l’intégrale

("= sin xdx f: sin + (re sin xdx

Jo 1+cos?x o 1—+-cos?x r 1H cos?x Dans la dernière intégrale, posons œ—nm—z, d’où dx — — dz,

les valeurs de z correspondant à x = x : 2 ct x — + sont respectivement

z—=Tm:2,z—0; donc, changeant le signe et renversant les limites, cette intégrale devient

(x — z)sin zdz

Jo: 1 cos" z

nn D |A

et l’on a, réduction faite,

fr x sin «dx 2 sin zdz ts ( |? T Re RE Te te (COS 7) le o1—+ cos? x ot —cos?z È 4

322. Considérons encore une intégrale définie importante, après quelques remarques préliminaires. Supposons m, n entiers et positifs, et n > m; faisons

TEA NOTE == (4,5) D — ms,

en observant que sin n0 — o; les formules (8) du n° 274 nous donnent immédiatement

k=n —I k=n—1 (a) - cos m(k, s) — 0, 2 sinm(k,s)—0; (—=0 =O0

de plus, en dérivant par rapport à 0 la première de ces deux équations (8) et faisant encore 0 — ms, on trouvera

k=n—1 L n (Ë) 2h (2k + r) sin m (k, s) — — Le

Décomposons maintenant en fractions simples la fraction rationnelle

ae.

I —- mr

en observant que les racines, toutes inégales, du dénominateur sont

données (7, S) par la formule

cos (24 —|- D) 4 sin (2k + == AURULE

où k reçoit les valeurs 0, 1, 2, ..., (n — 1). Donc, d’après la remarque du n° 260, le numérateur de la fraction correspondant à la racine

%y = ef) sera etm—n) (k,s)i e"” (,s)t

m—n QT = — =

DE mr T7

car on a e—" (k,8)? — e— (TITI 12 De là nous tirons x! pÉ—=A—T pm (k,s)t = — — EST ANR RU 142" Nino A — ete

ou, multipliant haut et bas par x — ef et ayant égard à l'expression du cosinus en exponentielles imaginaires, observant d'ailleurs que la fonction étant réelle, la partie imaginaire doit s’annuler d’elle-même,

12 No a—2xcos(k,s)Lr nn x?— 2% Cos(k,s) +1 Intégrons cette expression d’après la formule (3) du n° 294, et observons que l’on a ici « — cos (k,s), B—sin(k,s), d’où -

Ma + N cos m (k, s) cos (k, s) — cos (m — 1}(k, 5)

x" 1 1 k=n—1 xe"t,s)i — etm—1) (k,s)i I XCosm (k, s) — COS (m EN 1)(k, s) CR ER PRESS, RE Les fe PER

sin mi k,s HT sin (k, s) | (Es), et nous trouverons pour l'intégrale indéfinie x"—tdx p À—N—1 ———Z cosm(k,s)l.[x?— 2x cos(k,s)Lr PE > cosm(k,s)l.[ (, s) + 1]

ner 1 Sin (k, oaretg | ROUES)