AUS

Le premier groupe s’annule évidemment pour x = 0, ct aussi pour Vi ON CAL ON AE 1. [x? — 2x cos (k,s) + 1] —1. x? LI, É — < cos (4,5) +àl et à cause de la formule (x), on a l'icone (fs) —0;

donc il ne reste dans ce premier groupe que des termes qui s’annulent pour x —= « . Quant au second groupe, comme on a

æ — cos (k,s) cos (#, 5) x sin (k, s) g | — — | — tel" "| —=aret :

te | sin (k, 5) | PE | sin (k, a se É — æ cos (k, |

et que cette expression tend, pour des valeurs indéfiniment croissantes de x, vers |

arc tg [—tg(k, s——(k,s) = —(2k + 12

nous aurons la formule

(ne) —1 K=n— æ"=! dx T 1 T ER one (2k + i)sinm(k,s) = ——— I + x n°1 . MT Ç À n Sin —

en vertu de l'égalité (f).

Cette intégrale donne la suivante. Posons

V— #7 — — X Le LT — À,

les limites d’intégration seront encore o ct « , et nous aurons

A SE? 4 T o I+Z sinar Cette formule est donc démontrée pour toute valeur rationnelle de a entre zéro et l’unité.

Exercices.

4. Trouver la valeur de l’intégrale TT L. (1 — 2x cos x + 2?) dæ, (e)

en partant de la définition de lintégrale définie (3e@#). R. Partageant l'intervalle (0, x) en n parties égales, on trouve d’abord que cette

intégrale n’est autre que k=n—1 k T T lim -], I] 1— 24 C08 — +2 }; HE 0) n k=0 Li

et d’autre part, on déduit des formules du n° 3,

es pet k on a CPS 1 ax —]I Il 1— 24 C0$ — + à ] —(a—1) = a" — 1).

FE 2 AS) Eu ei re fe = te Donc 4 L(x°% — 7 1. (1 — 22 cos æ + 2°) dæ — 7 lim ( }# [e) = n

Cette limite est zéro, si «? L1; rl. &, sie? I.

5 2 dx " Joa cos®æ + b*sin®æ 2ab

(T —— dx T (5 1) tm a: 0) I —1(&—4)V1— 2 Y'a — 1 À “ sin æ dx Purin & do "1; 1 + a Oo 1 — 2% COS æ + a PS OPEL A T a WT Al 6. ROLL 2 — 2.

[ m—i1 x"! d Re ÉCRAN Te 1 ci A x) ICE (m, n cnticrs et > 0).

T s. [ cos" x cos mr dx —=— ° 2m

9 is cos" x cos nx dx, m et n entiers.

R. L'intégrale est nulle si m est n, et si m est > n mais de parité différente. Si m>n, met n étant de même parité, on a

EN OI EA eE 2.4..{(m—n)(2n +2) (2n +4)... (m+n) ne

[ 1.2...n : À J racer senc ue rocrme SE CS CELL TIALLS PRES SE ENT NES ANT TS É 10 eut sin" œ dx = J0 1.2...7

sin cst pair.

a (a? + 2°)... (a? + n?) , T #4. Dans l'intervalle | 0, 2 Jona constamment, n étant entier et > 0,

sin®" #1 æ € sin?" x € sin°"-! >, d’où |

sin?+1 x dx < sin®” æ dæ 0 (e)

sin®*—! x dx.

Divisant les termes de cette inégalité par le premier qui est positif, et remplaçant ces intégrales par leurs valeurs (82@), on aura

k <Ÿ 5°...(2n — 1) (2n +1) Tr 2n +1 2HA (2H) 2 an Faisant croitre n indéfiniment, on a la formule de Wallis T 2 2.

DRM 2°.4*... (2ni

2 no (En