INTÉGRATIQON PAR LES SÉRIES

323. Soit /(x) une fonction développable en série équiconvergente (4108) dans un intervalle (a, b), en sorte que si l’on fait

(1) fa)= ue Hu Hurt HER,

VAR, scra < , € étant arbitrairement petit, pour toute valeur de x égale ou supérieure à un nombre fixe N et pour toute valeur de x dans l’intervalle (a, b). Si les termes de la série et la fonction f(x) sont intégrables dans cet intervalle, on aura, pour a € x € b,

æ x x HA x f(x) dr —| vd + | mde + +| td + | R,dx.

Ja a a a a Mais sin =>N,ona M rude < e (ar € e(b— 0); a a

donc la valeur absolue du dernier terme peut être supposée moindre qu'une quantité donnée pour toute valeur de x dans l'intervalle b — a, donc la série du second membre est équiconvergente et a pour somme l'intégrale du premier membre, |

(2) (rar ne U uodx + . usdx + +. + F Un adx + +.

On a donc ce théorème : St une fonction f(x), intégrable dans un intervalle (a, b), est développable dans cet intervalle en une série équiconvergente dont lès termes sont eux-mêmes intégrables, les intégrales de ces termes entre les limites a et x < b formeront une série équiconvergente qui aura pour somme

(4 324. Ce théorème conduit à un autre également utile : Si une fonction f(x) est développable en une série convergente, dont les termes sont des fonctions de x qui ont des dérivées continues, dans un intervalle (a, b),

et si la série formée par ces dérivées est équiconvergente dans le même intervalle, la somme de cette seconde série sera la dérivée de f(x). Soit f(x) = uo + Us + ue + la série donnée, et | px) =, Hu Hu, + la série formée par les dérivées des termes de la première. Cette seconde série satisfait aux conditions du premier théorème, et l’on a, par suite, x TX X x ( p(x) dx {Tu dr +(° u! a+ u, dx +...

Mais, d’après le théorème du n° 812,0ona

ï ! x Un ALU

(le ça) de = {ue + us = f@ — fo et, en dérivant les deux membres par rapport à x, on obtient p(x)= f (a).

325. Le théorème du n° 328 est susceptible de deux sortes d’applications : 1° on peut, lorsqu'on sait obtenir sous forme finie l'intégrale de f(x) dx, déduire le développement de cette intégrale de celui de sa dérivée; 2° si l’on ne sait pas obtenir l'expression de [ f(x)dx au moyen des fonctions élémentaires, le théorème fournira le moyen de calculer sa valeur par approximation au moyen de séries convergentes. Considérons d’abord le premier problème.

I. On sait que, pour toute valeur de x comprise entre — p et +p, p < 1, on a la série équiconvergente

— = 1 x xt — 06 + 1 + x?

On conclut, par l’équation (2),

Dane du 2 | z'dx — Le Far (ads + | arde

ou 3 5 7 CO nes ee 4 (re rca)

résultat obtenu au n° 424.

II. De même, on a la série équiconvergente entre deux valeurs de x moindres que l’unité

2 2 I. x“ 1.3.5 Ga) tr +lot ES ere de

Appliquant le mème théorème et Pre que

CAN ET 4 —— = arc sin X,

Op/1— 2? S

on trouvera l’équation

DIRES TISSU arc sin PARENT Lo RENE TE 2.4 5 RAT 7 qui sera applicable pour toute valeur numérique de x moindre que l'unité. Pour x — 1, la série reste convergente, car on a ici (æ7,IX)

Uni (2n — 1} . 6n—1 3 ] me % = a ———— — | ——————— —= — I im n (2 æ) DE l an (2n + | ETC 1) 4 Donc, d’après le théorème d'Abel (444), l'équation subsiste et représente arc sin 1, donc La pa 0 Eee PAR PE NME RENE UE 20a0 ie US ‘À AE EEE 326. Comme exemple d’intégrales qu’on ne sait pas exprimer sous

forme finie, considérons, k étant une constante comprise entre zéro et 1, l'intégrale finie et déterminée

; h ik? sin? o On a, par la formule du binôme, AE TEE, Pa AE HE EU A 1 2 ER - [2 2 © k#sint k° 6 :

(1 — k?sin? +) ae sin bn, sin ex me sinio—+ …,

et cette série est équiconvergente dans tout intervalle, comme il est facile de le voir. On a donc

Ps = = ze (° sin? pd + Lau ( siné odp + «…., op/1 —k?sin?p

ou, en remplaçant les intégrales définies du second membre sil leurs

valeurs (820), Tr

ere MOMIE) 1

Si l’on remplace sin o par x dans l'intégrale, on voit que la série obtenue donne le développement de l'intégrale définie

F dx | 20p/(1 — x?) (1—kx?)

qu'on appelle l’intégrale elliptique complète de première espèce. Soit encore l'intégrale (a > o, x > 0)

æe* dx æ dx æ I (x fe = dx Te je \ se 1.2 Ê

f d'dz+..,

comme on le voit en développant e* par la formule connue. On aura donc

x el Css Bebe. PR fe RTE EAN Ati pilre LS RP a ©

ou, les termes constants formant une série convergente, æe “dx = ee + A PRES

C désignant une constante.

327. Le développement en série conduit parfois aux valeurs d’intégrales définies remarquables. Ainsi, on a, d’après une formule du n° 278, a étant une constante positive,

e7 4006 cos (a Sin Æ) — 1 — à COS x ape mL Me VS

cos 3x +...

et cette série, qui se déduirait d’ailleurs de la formule de Maclaurin, est équiconvergente dans tout intervalle de la variable x. On a donc, par l'équation (2),

T 2 T aÿ aÿ

D'autre part, développant sin z par la formule connue, on a, en vertu

du même théorème, pour toute valeur positive de a,

f sin zdz a5 se a ——— —})(( EE ———————————————— — le) ve 1.2.3:3 1.2.3.4.5.5 donc T 2 ; T a sin Z era sr cos (a sin æ) dt = —— dz.

Si l’on fait croître indéfiniment a, on reconnaît que l'intégrale du premier membre tend vers zéro, car le facteur e-2%%* finit par devenir

. Là La T [4 moindre que toute grandeur donnée dans l'intervalle (, Re DE étant

une quantité fixe aussi petite qu’on le veut, tandis que cos (a sin x) ne surpasse pas l’unité. D'autre part, la portion de l'intégrale comprise entre

L L2 FT TT j L les limites — — <, - est moindre en valeur absolue que 2 2

Ç dx — &.

Il résulte de là, nécessairement,

‘. sin zdz 7

On trouve de même, 1. (1 + x) étant développable par la série équiconvergente

pour toute valeur absolue de x < 1,

zl.(1+x SN RC 2 US ren en it PAIE o TL 2? 22 43 ct comme la série reste convergente pour x = 1, 11. (14%) I I I 1 ——— dx=1—--+-—- +. ——, (e) x 2 3 4 12

d’après une formule numérique connue.

328. Comme dernier exemple de la détermination d’une intégrale

définie au moyen des séries, considérons æe”s*sin bxdx ar ceseml