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D'autre part, on sait établir que lorsque 2 croit indéfiniment, l’aire du polygone et le volume de la pyramide finissent par différer respectivement, de l’aire du cercle et du volume du cône, de quantités moindres qu'une grandeur donnée quelconque. On a donc, dans cette hypothèse

imB'=B, limV'=V,

et par suite, remplaçant les deux membres de l’égalité ci-dessus par leurs limites, |

Ici donc, la méthode des limites conduit à une relation entre des grandeurs qui ne seraient pas comparables directement.

Quelquefois, la méthode sert à tirer d’une relation générale entre diverses quantités, la relation correspondant à un cas particulier dans lequel la formule générale ne subsiste plus, et qui exigerait autrement une démonstration spéciale. Ainsi la relation

1 + aa’ + (a +- a’) cos y = 0, entre les coefficients angulaires a et a’ de deux droites rectangulaires et

l’angle y des axes coordonnés, ne s'applique pas au cas où l’une des droites serait parallèle à l’axe des y, car son coefficient angulaire a serait

infini. Mais si l’on divise l'équation par a, si l’on suppose que la droite qui a le coefficient angulaire a se rapproche indéfiniment de l’axe des y, 1:4

et a’ : a auront pour limite zéro, et par l'application de la méthode des limites on aura

lim a’ + cos y = o.

On peut prouver que lim a’ représente le coefficient angulaire de la droite perpendiculaire à l’axe des y; donc, l’équation détermine ce coefficient.

Les exemples suivants, qui se rapportent d’ailleurs à des points impor-

tants pour la suite, montrent d’autres applications de la méthode des limites et des théorèmes II et III.

23. Limite de l'expression (1 + x)“, lorsque x a pour limite zéro. — I. Nous supposerons d’abord que m désigne un enticr positif, indéfini-

. He À Co EL , ment croissant, et nous chercherons la limite de (: +2) . La formule m

du binôme nous donne

(4) (+, re) LE Eu A Speo

ee 2... p ++.

Le p + 1e terme peut s’écrire, p étant € m,