ET

D’après cela, on a immédiatement

() s=[ VARIE dx y/1 + f(x}:

Si l'équation de la courbe est donnée en coordonnées polaires, r = f (6), on verra par un raisonnement semblable que l’on a

eo sofa /r+efavrorre,

6, et 0 se rapportant aux deux extrémités de l’arc. Dans ces formules,

dérivée

s est supposé croître dans le sens où la variable indépendante, x ou 6, est elle-même croissante.

342. Exemples. — 1° Parabole. — L’arc est compté du sommet de la courbe, l'axe étant pris pour axe des y. On a %o = 0, x? — 2py, d'où x? x 1fz = foyer let = far re LE P P Jo VP Mais on sait que | ( x?dx dx dxy/ p° + x? — es 1

Lise (2 E re ut JVr+x Vp'+ 2 Hop +—[dry/p+ x, d’où, d’après une formule du n° 297, CRE 2 rien de Sda PF = pe Ha +0 («+ pp +x)+c.

Retranchant de cette intégrale sa valeur pour x = o, on trouve pour l'arc de parabole

RE. ? Dr?

nn rie (Erre }

2° Ellipse. — On exprime les coordonnées de la courbe au moyen de l'angle w du n° 889,

x — asin u, y —b cosu,

dx? + dy? = du /a? costu + b? sin?u — adu /1 — e* sin’u,

en posant ae — j/a? — b?. Si l'arc est compté du sommet B du petit axe, On aura

1/1 s—a| duy/ 1 —e* sin°u.

Cette intégrale, qu’on appelle l'intégrale elliptique de seconde espèce, ne peut s'exprimer sous forme finie, mais comme onae < 1, on peut développer le radical en série équiconvergente et l’on a

Fe eésinfu +,

se Î . LÉ RATIERRE (1 — €? sin?u)* — 1 — - €? sin?u — ——€" sin‘u — 2 à

d’où, par le thérorème du n° 8323,

e? fu et fu 1.3€ fu, CEST É — À sin°udu — =| sin‘udu — 3° sin‘udu | 2 24419 2450110 Toutes ces intégrales se caleulent sans peine (807). Pour avoir le quart du périmètre de l’ellipse, on fera uw = r : 2, et en appliquant la formule

ART 1,.3...(22— 1I)T sin?"udu — Aa) TE

on aura en série conyergente l'expression demandée,

AL É OË (Ne :3 ) | 2 2 2 ANS 2H ATOS 3° Cycloïde. — On prendra l’angle w (484) pour variable d’intégration. On trouvera /dx? + dy? = ado /(i — cos w}? L sin°w — 24 sin 30 do. On en déduit, pour la longueur d’un arc de cycloïde commençant à © — 0 et se terminant au point «w,

$ — 4a (1 — cos + w), et pour la longueur d’une arcade entière,

si o00,