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et sous cette forme on voit 4° qu’il est toujours positif comme composé de facteurs positifs ; 2° que, pour une même valeur de p, ce terme.croit

: Le I constamment avec m; 3° qu’il reste toujours moindre que —————— ;

L L 2 LEE] P puisque tous les autres facteurs sont inférieurs à l’unité. L'expression

proposée est donc constamment croissante avec m, puisque, d’une part, le nombre m + 1 de ses termes augmente; d’autre part, un terme de rang fixe croît constamment. En outre, on a

me?

Fin ee

Hit HER

2 Ta

LT) Dos

car, d'après la remarque du N° #6, la somme des m— 1 derniers termes reste inférieure à l’unité.

La valeur de l'expression (A) étant constamment croissante lorsque m croit indéfiniment, et ne pouvant surpasser 3, à une limite e inféricure ou égale à 3 (N° 49).

II. Supposons maintenant que « tende vers zéro d’une manière quelconque, en restant positif, 1: sera toujours compris entre deux nombres entiers consécutifs m, m +- 1, lesquels croîtront indéfiniment. On pourra donc poser

11 « mia 14 QURO C7 Tr,

et par suite on aura

4 m+y m+y \ m += (+) <(i+3) <(i+:) (+5) + I Li à FENENTERE I mena Areas Je Lara):

Quand m et m +1 croissent indéfiniment,

I m I m+!1 (: +5) et (: —- ) m m I

Le : I ont pour limite e, d’après I. D’autre part, 7 See et 1 +

m1 limite l’unité, donc (24) les derniers membres de ces inégalités ont pour limite e et l’expression (A), constamment comprise entr’eux, a pour limite e.

III. Si « tend vers zéro en restant négatif, 1 + « aura pour limite l’unité en lui restant inférieur, et l’on posera

L QE NE B étant positif et ayant pour limite zéro. On a donc

[ I Æ LEE 1 ee EE TE)

ont pour

et comme le premier facteur a pour limite e d’après IT, tandis que le second tend vers l’unité, le produit a pour limite e. Enfin, si « tend vers la limite zéro d’une manière quelconque, puisque

PASS d'A

l'expression (A) à la même limite e pour les valeurs positives et pour les valeurs négatives de «, on aura dans tous les ces

(x) | lim (1 L a)* — e.

Nous verrons plus loin comment on évalue ce nombre e, qui est irrationnel et sert de base au système des logarithmes népériens ou naturels, que nous désignerons par la caractéristique 1.

Corollaire. Cherchons la limite, lorsque « tend vers zéro, de l’expression