CALCUL APPROCHÉ DES INTÉGRALES DÉFINIES

352. Un grand nombre de problèmes de mécanique et de physique conduisent à chercher la valeur d'intégrales définies dont l’expression rigoureuse ne peut être obtenue sous forme finie. On doit recourir aux méthodes d’approximation, et l’on a établi dans ce but des formules où

l'on se propose d'obtenir une approximation suffisante avec le moins de calculs possible.

L'intégrale définie b ftx)dx œ

représente, comme on l’a vu, f(x) étant > o et b > a, l'aire S de la courbe qui a pour équation y — f(x) entre les ordonnées qui répondent aux abscisses a et b. Le problème est donc le même, d'évaluer approxi-

mativement l'intégrale définie, ou de trouver approximativement la valeur de l’aire S, et c’est sous cette dernière forme que nous allons traiter la question, en donnant le moyen d’assigner une limite supérieure de l'erreur que comporte chaque formule approchée.

353. Le principe de la méthode est celui-ci : 4° Si l’on sait qu’une quantité inconnue S est comprise entre une limite inférieure L et une limite supérieure L, ! <S < L, l'erreur € commise en attribuant à S la valeur moyenne

sera moindre que ; 2° si l’on sait, de plus, que S est plus rapproché de la limite supérieure L que de la limite inférieure /, on pourra poser

iQ n = L— [

» Avec EL ——.

Cela posé, soit AN (fig. 59) un arc de courbe, que nous supposerons en tous ses points tournant sa concavité vers l'axe des x; aANn —S l'aire à évaluer, comprise entre la courbe, l’axe des x, et deux ordonnées aA,

Fig. 59.

nN. Nous la partageons en un nombre pair 2n de parties par des ordonnées équidistantes Aa, Bb, Cc,... Mm, Nn, et soient y;, Ys,... Yen Yanat ces ordonnées, hk la distance ab entre deux ordonnées consécutives. Nous poserons

E = y: LE yanys, P = ya E ya + + + Yan,

) = y3 Lys + Lyon, ge VE

E est la somme des ordonnées extrêmes, P la somme des ordonnées de rang pair, 1 des ordonnées de rang impair, moins les deux extrêmes.

Pour trouver une limite inférieure de l'aire S, menons les cordes AB, BC... LM, MN qui joignent deux à deux les sommets des ordonnées consécutives; la somme / des aires des trapèzes inscrits aABb, bBCc..…. mMNn, qui a pour expression

2 un Ve) + (ge + ys) Æ ce (an + Yann),

sera évidemment moindre que S. Nous aurons donc, comme première limite inférieure,

(2) (À (E+ 21 ap).

Cette limite / fournit d’ailleurs une première valeur approchée de l'aire S; c’est la formule des trapèzes, qui a l’avantage de s’appliquer avec un nombre pair ou un nombre impair de divisions À.

354. Pour obtenir une limite supérieure L, nous menons par les sommets B, D, .… M des ordonnées de rang pair des tangentes à la courbe, en les terminant chacune aux deux ordonnées voisines. L’aire aABCc de la courbe est plus petite que celle du trapèze aB’B'’c compris entre la tangente en B et les ordonnées y, et y; prolongées; de même pour les segments cCDEe, .… [LMNn. Or, la somme des aires de ces trapèzes est

L— 2h(y2 + ys + ee Loyer) = 2hP, donc

(3) L — 2hP

est une limite supérieure de l’aire S.

Enfin, nous aurons une seconde limite inférieure en prenant le polygone aABDF...MNn formé en joignant deux à deux les sommets de rang pair du premier polygone inscrit, et conservant le premier et le dernier côté de celui-ci.

L’aire l’ de ce polygone a pour expression , 1 1 n n

l' — Mure "AL À (yo + y:) + (y + y) +. + (Yen lys) ie EE a | ya + Yanys my: = |

—h [aus + 2Yà ee + 2yan +

d’où enfin (4) l'=h(2P— d), et S>/7.

Toute quantité comprise dans l’intervalle ({, L) ou (/’, L) fournira une valeur approchée de S, mais du choix de cette quantité dépend, pour un même nombre 2n de divisions de l'intervalle (a, b), le degré de l’approximation. Indiquons les principales combinaisons.