Si l’on choisit, conformément au principe

LT He l EEE d'où € Sr

on aura la formule d’approximation d hd (5) $— à (2P — =) avec € pe

C’est la formule de Poncelet, fort simple pour le calcul et d’une exactitude remarquable. La limite de l'erreur peut se représenter géométriquement, car si l’on joint les sommets extrèmes À et N, puis les sommets suivants B et M, les droites AN, BM couperont respectivement en deux points P et Q l’ordonnée du milieu Ee ou y,,,, et nous aurons

donc € sera moindre que la moitié du rectangle construit sur PQ et sur la distance h entre deux ordonnées consécutives. On devra donc choisir h assez petit ou n assez grand pour que cette quantité ne surpasse pas l'erreur que l’on peut admettre.

La tangente se rapprochant de la courbe plus que la corde, on doit supposer que, généralement, l’aire S se rapproche plus de sa limite supérieure L que de sa limite inférieure l’, et l’on est ainsi eonduit, d’après le principe 2°, à poser

ce qui donnera d (6) S—h(2P—°); avec e

C’est la formule de Parmentier, qui comporte, dans l’hypothèse admise, une erreur maximum moindre que la formule (5).

356, On peut aussi combiner la limite L avec /, mais pour procéder rationnellement dans le choix de la combinaison, nous considérons d’abord un seul segment aAIBb = 3 (fig. 60), le trapèze intérieur aABb — t, ct le trapèze extérieur aAA’'b = T compris entre la tangente en À et les deux ordonnées.

Cherchons l'expression du rapport de l'aire AIBA — 2 — { entre la courbe et la corde, à l’aire AIBA/’A — T — Z entre la courbe, la tangente en A et l’ordonnée A’’Bb. Nous admettrons que la fonction f(x) qui représente l’ordonnée soit continue ainsi que ses dérivées jusqu’au troisième ordre, et nous désignerons par F(x) la fonction qui a pour dérivée f(x); par x l’abscisse du point A. Nous aurons alors

2 = Fxo + h) — F(xo) = hf(xo) + . f(x)

h3 + Pa) RR,

h | T2 (ee) + fl) + ho d’après l'équation de la tangente,

ELA + += af) PA +2 PE) FR |

Fig. 60.

R, R; étant des quantités finics. Il suit de là que l’on a, en supprimant le facteur h°,

T— > 100) 2 f(x) — 6RR = à

et que le rapport de l’aire AIBA à AIBA'’A tendrait vers 1 : 2 si h tendait vers zéro. On devra donc, si h est supposé assez petit, considérer 1 : 2 comme la valeur la plus convenable à adopter pour ce rapport, et l’on est amené ainsi à poser 5 — ALL ee TH 21 :

On arriverait au même résultat en prenant, au lieu du trapèze aAA'’b,

le trapèze aB'Bb, entre les deux ordonnées et la tangente en B. Done, si

nous revenons au problème proposé et à la figure 59, et si nous appliquons ce qui vient d’être établi à chacun des segments aABb, bBCc, .…, mMNn compris entre deux ordonnées consécutives, comparé au trapèze formé par la corde et au trapèze formé par la tangente à l’une des extrémités de l’arc correspondant, nous serons conduit à poser la formule suivante comme offrant le maximum d’approximation pour k très petit :

«Li

ce qui donnera l'équation h (7) RARE RRQ

C’est la formule dite de Simpson, qui présente en effet une exactitude remarquable, même pour un nombre restreint de divisions À. Elle donne : un résultat rigoureusement exact, lorsqu'on l’applique à une parabole du deuxième ou du troisième degré.

En combinant différemment les limites L et { ou /’, on obtient d’autres formules connues, mais les précédentes suffisent dans la pratique.

Si la courbe ABC … N tournait, dans toute son étendue, sa convexité vers l’axe des x, la même méthode s’appliquerait à l’évaluation de l'aire aANn, et conduirait aux mêmes formules, mais la limite supérieure deviendrait une limite inférieure et vice versa. Enfin, si la courbe tournait sa concavité, tantôt dans un sens, tantôt dans l’autre, on partagerait l’aire à évaluer en plusieurs parties, dont chacune satisferait à l’une des conditions ci-dessus.

Exercices.