TL
Cette équation nous donne
Le premier membre a pour limite le nombre e, donc e° a pour limite e, ce qui ne peut avoir lieu que si z a pour limite l'unité. On a donc
(2) lim LG+ a) 227
24. Cherchons encore la limite, quand x croit indéfiniment, de l'expression
Considérons deux valeurs très grandes de x, soient x et x + k; la difference 4,17 — U, des valeurs de u sera
Mt a? a à (æ + h)" x" x" (: in 2)
Supposant hk © o et constant, faisons croître x indéfiniment; a* : x” étant évidemment positif, et le facteur entre crochets ayant pour limite a* — 1 qui est aussi positif, #1» — w, sera positif, quel que soit k, pour toute valeur de x surpassant un certain nombre X. On en conclut que w est une variable toujours croissante avec x, au moins à partir de «x —X; il en résulte (49) qu’elle doit tendre vers une limite déterminée ou croître au-dessus de tout nombre donné.
Or, le facteur a* : x" ne peut avoir pour limite zéro, puisqu'il est
OT
positif et croissant ; le facteur entre crochets a pour limite a! — 1 > o,h restant constant; donc le produit, c’est-à-dire la différence w,17 — u,, ne tend pas vers zéro, donc (48)
HA
a Pate (ann O0);
croit indéfiniment en même temps que x.
Posons Z'—NT MOULE 6", d’où nix ES x" e°
Si l’on fait croître indéfiniment x ct par conséquent x, le second membre de cette équation tendra vers zéro, d’après ce qui précède. Nous aurons donc
HUIT lim —— 0, D '2æ=e)00 Hh et en particulier, pour n — 1, ar, V'EÆ109 Hh Posons encore I I xs d'où Ix——1]y, - —7y" (1 x" ?
nous aurons, y ayant pour limite zéro quand x croît à l’infim,
imyly=o, n>o.
On conclut aussi facilement, de l’équation (3), que x* a pour limite l'unité lorsque x tend vers zéro.
25. Les quantités peuvent être regardées comme limites d’expressions de formes très variées, et à chacun de ces modes correspond une branche de la méthode des limites. Nous en considérerons trois principaux :
4° Une quantité peut être regardée comme la limite vers laquelle tend la somme d’un nombre de plus en plus grand de termes pris dans une suite indéfinie de quantités déterminées (Séries).
C’est le cas du deuxième exemple du N° 46.
2° Une quantité peut dépendre de la limite du rapport de deux quantités
NA Y ASE
variables qui tendent simultanément vers la limite zéro (tangentes, caleul différentiel). | 3° Une quantité peut être considérée comme la limite vers laquelle tend une somme de quantités variables qui ont pour limite zéro, mais dont le nombre croit indéfiniment (aires planes, calcul intégral). Nous allons développer successivement les principes essentiels de ces trois sections de la méthode des limites. On considère aussi les limites de produits composés d’un nombre de facteurs indéfiniment croissant, etc., etc...
