CUBATURE DES SOLIDES EN GÉNÉRAL

369. Nous reprenons le problème % l'évaluation du volume compris sous une surface donnée (Ch. XXXIV),e | d’abord, nous chercherons l'expression du volume V compris entre une surface EFGH (fig. 65) dont on a l'équation

le plan XY, deux plans AEDH, BFGC parallèles au plan XZ, et deux autres plans ABFE, DCGH parallèles au plan YZ. | Fige 6

Pour cela, nous décomposerons le volume à évaluer en filets prismatiques par deux systèmes de plans infiniment voisins, les uns parallèles au plan YZ, les autres parallèles au plan XZ; soit MNPafy un de ces éléments prismatiques. Son volume est compris entre les volumes des deux prismes qui ont pour base commune le rectangle Pafy, et pour hauteurs respectives la plus petite et la plus grande valeur de z dans ce rectangle; il est donc égal au produit de l'aire w du rectangle Pafy par la valeur f(Ë,n) de z qui répond à un certain point (E, n) de ce rectangle. Done, si l’on désigne par Z une somme qui s’étend à tous les éléments © de l’aire ABCD ou T, on aura

(2) V=limZf(,n)o= [1/(2,y) dT

Cette formule se transforme par le théorème du n° 362. Soient x:, æ2, les valeurs de x qui déterminent les plans ABFE, DCGH, ou leurs traces AB, DC sur le plan XY ; y1, y2 les valeurs de y relatives aux traces AD, BC. On aura donc, soit

Lo Ye (3). v— | az | (Cæ; y) dy, T1 Ya soit - Ye Lo (4) v=| ay Fc y a, Ya Ti

suivant qu’on commencera par l’intégration relative à y ou l'intégration relative à x.

820. Comme exemple, cherchons le volume du solide entre les plans

coordonnés et la surface engendrée par une

droite MN (fig. 66) qui se meut en restant parallèle au plan YZ et s'appuyant sur deux droites fixes, AC dans le plan XZ, BD parallèle à OX dans le plan XY.

Posant OA — a, OB — 6, OC — c, on trouve pour l’équation de la surface